Олимпиадные задачи из источника «Региональный этап»

Даны положительные числа <i>b</i> и <i>c</i>. Докажите неравенство  (<i>b</i> – <i>c</i>)²⁰¹¹(<i>b</i> + <i>c</i>)²⁰¹¹(<i>c</i> – <i>b</i>)²⁰¹¹ ≥ (<i>b</i>²⁰¹¹ – <i>c</i>²⁰¹¹)(<i>b</i>²⁰¹¹ + <i>c</i>²⁰¹¹)(<i>c</i>²⁰¹¹ – <i>b</i>²⁰¹¹).

Вася нарисовал на плоскости несколько окружностей и провёл всевозможные общие касательные к каждой паре этих окружностей. Оказалось, что проведённые прямые содержат все стороны некоторого правильного 2011-угольника. Какое наименьшее количество окружностей мог нарисовать Вася?

Остроугольный треугольник <i>ABC</i> вписан в окружность ω. Касательные к ω, проведённые через точки <i>B</i> и <i>C</i>, пересекают касательную к ω, проведённую через точку <i>A</i>, в точках <i>K</i> и <i>L</i> соответственно. Прямая, проведённая через <i>K</i> параллельно <i>AB</i>, пересекается с прямой, проведённой через <i>L</i> параллельно <i>AC</i>, в точке <i>P</i>. Докажите, что  <i>BP = CP</i>.

2011 складов соединены дорогами так, что от каждого склада можно проехать к любому другому, возможно, проехав по нескольким дорогам. На складах находится по  <i>x</i>₁, ..., <i>x</i>₂₀₁₁  кг цемента соответственно. За один рейс можно провезти с произвольного склада на другой по соединяющей их дороге произвольное количество цемента. В итоге на складах по плану должно оказаться по  <i>y</i>₁, ..., <i>y</i>₂₀₁₁  кг цемента соответственно, причём

<i>x</i>₁ + <i>x</i>₂ + ... + <i>x</i>₂₀₁₁ = <i>y</i>₁ + <i>y<...

На окружности, описанной около прямоугольника <i>ABCD</i>, выбрана точка <i>K</i>. Оказалось, что прямая <i>CK</i> пересекает отрезок <i>AD</i> в такой точке <i>M</i>, что

<i>AM</i> : <i>MD</i> = 2.  Пусть <i>O</i> – центр прямоугольника. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника <i>OKD</i> лежит на описанной окружности треугольника <i>COD</i>.

Даны 2011 ненулевых целых чисел. Известно, что сумма любого из них с произведением оставшихся 2010 чисел отрицательна. Докажите, что если произвольным образом разбить все данные числа на две группы и перемножить числа в группах, то сумма двух полученных произведений также будет отрицательной.

Существует ли такое вещественное α, что число cos α иррационально, а все числа cos 2α, cos 3α, cos 4α, cos 5α рациональны?

В неравнобедренном остроугольном треугольнике <i>ABC</i> точки <i>C</i>₀ и <i>B</i>₀ – середины сторон <i>AB</i> и <i>AC</i> соответственно, <i>O</i> – центр описанной окружности, <i>H</i> – точка пересечения высот. Прямые <i>BH</i> и <i>OC</i>₀ пересекаются в точке <i>P</i>, а прямые <i>CH</i> и <i>OB</i>₀ – в точке <i>Q</i>. Оказалось, что четырёхугольник <i>OPHQ</i> – ромб. Докажите, что точки <i>A, P</i> и <i>Q</i> лежат на одной прямой.

На доску выписаны 2011 чисел. Оказалось, что сумма каждых трёх выписанных чисел также является выписанным числом.

Какое наименьшее количество нулей может быть среди этих чисел?

Найдите все такие числа <i>a</i>, что для любого натурального <i>n</i> число  <i>an</i>(<i>n</i> + 2)(<i>n</i> + 3)(<i>n</i> + 4)  будет целым.

Ненулевые числа <i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i> таковы, что каждые два из трёх уравнений  <i>ax</i>¹¹ + <i>bx</i>⁴ + <i>c</i> = 0,  <i>bx</i>¹¹ + <i>cx</i>⁴ + <i>a</i> = 0,  <i>cx</i>¹¹ + <i>ax</i>⁴ + <i>b</i> = 0  имеют общий корень. Докажите, что все три уравнения имеют общий корень.

Даны различные натуральные числа  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a</i>₁₄.  На доску выписаны все 196 чисел вида  <i>a_k</i> + <i>a_l</i>,  где  1 ≤ <i>k</i>, <i>l</i> ≤ 14.  Может ли оказаться, что для каждой комбинации из двух цифр среди написанных на доске чисел найдётся хотя бы одно число, оканчивающееся на эту комбинацию (то есть найдутся числа, оканчивающиеся на 00, 01, 02, ..., 99)?

На стороне <i>AC</i> остроугольного треугольника <i>ABC</i> выбраны точки <i>M</i> и <i>K</i> так, что ∠<i>ABM</i> = ∠<i>CBK</i>.

Докажите, что центры описанных окружностей треугольников <i>ABM, ABK, CBM</i> и <i>CBK</i> лежат на одной окружности.

Два бегуна стартовали одновременно из одной точки. Сначала они бежали по улице до стадиона, а потом до финиша – три круга по стадиону. Всю дистанцию оба бежали с постоянными скоростями, и в ходе забега первый бегун дважды обогнал второго. Докажите, что первый бежал по крайней мере вдвое быстрее, чем второй.

Прямую палку длиной 2 метра распилили на <i>N</i> палочек, длина каждой из которых выражается целым числом сантиметров. При каком наименьшем <i>N</i> можно гарантировать, что, использовав все получившиеся палочки, можно, не ломая их, сложить контур некоторого прямоугольника?

Найдите все такие тройки простых чисел <i>p, q, r</i>, что четвёртая степень каждого из них, уменьшенная на 1, делится на произведение двух остальных.

Вначале на плоскости были отмечены три различные точки. Каждую минуту выбирались некоторые три из отмеченных точек – обозначим их <i>A, B</i> и <i>C</i>, после чего на плоскости отмечалась точка <i>D</i>, симметричная <i>A</i> относительно серединного перпендикуляра к <i>BC</i>. Через сутки оказалось, что среди отмеченных точек нашлись три различные точки, лежащие на одной прямой. Докажите, что три исходных точки также лежали на одной прямой.

Найдите все такие числа <i>a</i>, что для любого натурального <i>n</i> число  <i>an</i>(<i>n</i> + 2)(<i>n</i> + 4)  будет целым.

Даны положительные числа <i>x</i>, <i>y</i>, <i>z</i>. Докажите неравенство   <img align="middle" src="/storage/problem-media/116543/problem_116543_img_2.gif">

Через центры некоторых клеток шахматной доски 8×8 проведена замкнутая несамопересекающаяся ломаная. Каждое звено ломаной соединяет центры соседних по горизонтали, вертикали или диагонали клеток. Докажите, что в ограниченном ею многоугольнике общая площадь чёрных частей равна общей площади белых частей.

Дан равнобедренный треугольник <i>ABC</i>  (<i>AB = AC</i>).  На меньшей дуге <i>AB</i> описанной около него окружности взята точка <i>D</i>. На продолжении отрезка <i>AD</i> за точку <i>D</i> выбрана точка <i>E</i> так, что точки <i>A</i> и <i>E</i> лежат в одной полуплоскости относительно <i>BC</i>. Описанная окружность треугольника <i>BDE</i> пересекает сторону <i>AB</i> в точке <i>F</i>. Докажите, что прямые <i>EF</i> и <i>BC</i> параллельны.

Про три положительных числа известно, что если выбрать одно из них и прибавить к нему сумму квадратов двух других, то получится одна и та же сумма, независимо от выбранного числа. Верно ли, что все числа равны?