Олимпиадная задача по планиметрии: соотношение площадей треугольников у касательных двух окружностей

  Пусть r₁ и r₂ – радиусы окружностей ω₁ и ω₂ соответственно, а O₁ и O₂ – их центры. Если  r₁ = r₂,  то треугольники A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ симметричны относительно точки пересечения прямых O₁O₂ и C₁C₂, и их площади равны.

  Пусть  r₁ < r₂.  Тогда лучи A₂A₁ и B₂B₁ пересекаются в некоторой точке S (рис. слева). Гомотетия с центром и коэффициентом  ^r₁/_r2  переводит ω₂ в ω₁, A₂ – в A₁, B₂ – в B₁, следовательно,  A₁B₁ : A₂B₂ = r₁ : r₂.  Осталось доказать, что высоты h₁ и h₂ треугольников A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂, проведённые соответственно из вершин C₁ и C₂, равны.   Первый способ. Обозначим через P и Q точки пересечения прямой c с прямыми a и b, а проекции точек B₁, C₁, B₂, C₂, P и Q на линию центров O₁O₂ через    P' и Q' соответственно.

  Напомним, что  PA₁ = PC₁ = QB₂ = QC₂  (см. задачу 156658).

  Пусть прямая c пересекает O₁O в точке M. Положим  α = ∠PSM = ∠QSM,  β = ∠SMP = ∠O₂MQ.  Имеем

  Второй способ. Середина A₀ отрезка A₁A₂ лежит на радикальной оси l окружностей ω₁ и ω₂, поскольку касательные, проведённые из A₀ к этим окружностям, равны (рис. справа). По той же причине на этой радикальной оси лежат середины B₀ и C₀ отрезков B₁B₂ и C₁C₂. Поэтому точки C₁ и C₂ равноудалены от l. Как известно, радикальная ось перпендикулярна линии центров O₁O₂, поэтому прямые A₁B₁ и A₂B₂ тоже равноудалены от l. Следовательно, расстояние h₁ от C₁ до A₁B₁ равно расстоянию h₂ от C₂ до A₂B₂.

Ответ задачи отсутствует