Олимпиадная задача по планиметрии для 8–10 классов про три окружности от Кожевникова П. А.

  Обозначим вершины образовавшегося треугольника через A, B, C, как показано на рисунке, а центры окружностей ω_x, ω_y и ω_z через I_x, I_y и I_z.   Первый способ. Пусть q'  – вторая общая внутренняя касательная к ω_y и ω_z, а t'  – вторая их общая внешняя касательная. Обозначим через A'  и B'  точки пересечения прямой t'  с q и t, а через M и N – точки пересечения прямой q'  с t и t'.

  Прямаяpпри симметрии относительно прямойI_yYпереходит вq'  (если бы она перешла вq, то треугольникABCбыл бы равнобедренным). С другой стороны, прямыеqиq', а такжеtиt'  симметричны относительно линии центровI_yI_z. Значит,  ∠B'A'C= ∠NMB'= ∠BAC.  Кроме того, углыACBиA'CB'равны как вертикальные. Итак, треугольникиABCиA'B'Cподобны по двум углам.   ω_y– их общая вневписанная окружность, касающаяся соответственных сторонACиA'C; значит, коэффициент их подобия равен 1. Поэтому радиусы их вписанных окружностей также равны.   Второй способ. Пусть ω₀ – вписанная окружность треугольника ABC и её радиус  r₀ = ^r/_k.  Обозначим через T точку касания ω₀ с прямой t.   Обозначим  x = AT,  z = CT = AC – x.  Как известно,  AY = CT = z  (см. задачу 156658). Заметим, что  x ≠ z  (иначе треугольник ABC равнобедренный).

  Пусть I – центр ω₀. Треугольники ITA и I_xXA подобны, поэтому  .  Аналогично  ZC = kz.

  XA + AY = XY = ZY = ZC + CY;  значит,  kx + z = kz + x,  откуда  (kx – x) – (kz – z) = 0,  или  (k – 1)(x – z) = 0.  Следовательно,  k = 1,  что и требовалось.

Ответ задачи отсутствует