Олимпиадные задачи по теме «Алгебраические неравенства и системы неравенств» для 1-6 класса - сложность 2-3 с решениями

Найдите все пары простых чисел <i>p</i> и <i>q</i>, обладающие следующим свойством:  7<i>p</i> + 1  делится на <i>q</i>, а  7<i>q</i> + 1  делится на <i>p</i>.

Какое из чисел больше:  1 – 2 + 3 – 4 + 5 – ... + 99 – 100  или  1 + 2 – 3 + 4 – 5 + 6 – ... – 99 + 100?

Последовательности положительных чисел (<i>x_n</i>) и (<i>y_n</i>) удовлетворяют условиям   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109842/problem_109842_img_2.gif">   при всех натуральных <i>n</i>. Докажите, что если все числа <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, <i>y</i>₁, <i>y</i>₂ больше 1, то  <i>x_n > y_n</i>  при каком-нибудь натуральном <i>n</i>.

У кассира было 30 монет: 10, 15 и 20 копеек на сумму 5 рублей. Докажите, что 20-копеечных монет у него было больше, чем 10-копеечных.

Из спичек составлены три неверных равенства (см. рисунок). <div align="center"><img src="/storage/problem-media/88248/problem_88248_img_2.gif"></div>Переставьте в каждом ряду по одной спичке так, чтобы все равенства стали верными. Можно смещать части формулы без изменения рисунка.

Дама сдавала в багаж рюкзак, чемодан, саквояж и корзину. Известно, что чемодан весит больше, чем рюкзак;  саквояж и рюкзак весят больше, чем чемодан и корзина;  корзина и саквояж весят столько же, сколько чемодан и рюкзак. Перечислите вещи дамы в порядке убывания их веса.

Дано 25 чисел. Известно, что сумма любых четырёх из них положительна. Верно ли, что сумма всех чисел положительна?

Замените каждую букву на схеме цифрой от 1 до 9 так, чтобы выполнялись все неравенства, а затем расставьте буквы в порядке возрастания их числовых значений. Какое слово у вас получилось? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/87968/problem_87968_img_2.gif"></div>

Али-Баба пришёл в пещеру, где есть золото, алмазы и сундук, в котором их можно унести. Полный сундук золота весит 200 кг, полный сундук алмазов – 40 кг, пустой сундук ничего не весит. Килограмм золота стоит на базаре 20 динаров, килограмм алмазов – 60 динаров. Али-Баба может поднять и унести не более 100 кг. Какую наибольшую сумму (денег) он может получить за сокровища, которые он принесёт из пещеры за один раз?

Дано 25 чисел. Сумма любых четырех из них положительна. Докажите, что сумма их всех тоже положительна.

a) Решить в целых числах уравнение  ¹/_<i>a</i>+¹/_<i>b</i>+¹/_<i>c</i>= 1. б)  ¹/_<i>a</i>+¹/_<i>b</i>+¹/_<i>c</i>< 1  (<i>a, b, c</i>– натуральные числа). Доказать, что  ¹/_<i>a</i>+¹/_<i>b</i>+¹/_<i>c</i><⁴¹/₄₂.

а) Какое наибольшее число рёбер может быть в 30-вершинном графе, в котором нет треугольников?

б) Какое наибольшее число рёбер может быть в 30-вершинном графе, в котором нет полного подграфа из четырёх вершин?

Докажите, что если  <i>x + y + z ≥ xyz</i>,  то  <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² ≥ <i>xyz</i>.

Докажите, что три неравенства  <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/30927/problem_30927_img_2.gif">  не могут быть все верны одновременно, если числа<i>a</i>₁,<i>a</i>₂,<i>a</i>₃,<i>b</i>₁,<i>b</i>₂,<i>b</i>₃положительны.

<i>a, b, c, d</i> – положительные числа. Докажите, что по крайней мере одно из неравенств

  1)  <i>a + b < c + d</i>;

  2)  (<i>a + b</i>)<i>cd < ab</i>(<i>c + d</i>);

  3)  (<i>a + b</i>)(<i>c + d</i>) < <i>ab + cd</i>

неверно.

<i>x, y</i> > 0.  Через <i>S</i> обозначим наименьшее из чисел <i>x</i>, ¹/_<i>y</i>,  <i>y</i> + ¹/_<i>x</i>.  Какое максимальное значение может принимать величина <i>S</i>?

Докажите, что для любого <i>x</i> выполнено неравенство  <i>x</i>⁴ – <i>x</i>³ + 3<i>x</i>² – 2<i>x</i> + 2 ≥ 0.

Докажите, что   <img width="348" height="56" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/30922/problem_30922_img_2.gif">

<i>x, y, z</i>   положительные числа. Докажите неравенство   <img width="202" height="45" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/30921/problem_30921_img_2.gif">

<i>a, b, c</i> – натуральные числа и &nbsp¹/_<i>a</i> + 1/_<i>b</i> + 1/_<i>c</i> < 1.  Докажите, что &nbsp¹/_<i>a</i> + 1/_<i>b</i> + 1/_<i>c</i> ≤ ⁴¹/₄₂.

<i>x, y</i> – числа из отрезка  [0, 1].  Докажите неравенство   <img width="140" height="45" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/30919/problem_30919_img_2.gif">

<i>a, b, c</i> > 0  и  <i>abc</i> = 1.  Известно, что   <i>a + b + c</i> > ¹/_<i>a</i> + ¹/_<i>b</i> + ¹/_<i>c</i>.  Докажите, что ровно одно из чисел <i>a, b, c</i> больше 1.

Существует ли набор чисел, сумма которых равна 1, а сумма их квадратов меньше 0,01?

<i>a, b, c, d</i> ≥ 0,  причём  <i>c + d ≤ a,  c + d ≤ b</i>.  Докажите, что  <i>ad + bc ≤ ab</i>.

1 > <i>x > y</i> > 0.  Докажите, что   <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/30915/problem_30915_img_2.gif">