Олимпиадные задачи по теме «Алгебраические неравенства и системы неравенств» для 3-6 класса - сложность 1 с решениями

На карточках записаны числа 415, 43, 7, 8, 74, 3 (см. рисунок). Расположите карточки в ряд так, чтобы получившееся десятизначное число было наименьшим из возможных. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116858/problem_116858_img_2.gif"></div>

Какое наибольшее значение может принимать выражение   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115510/problem_115510_img_2.gif">   где <i>a, b, c</i> – попарно различные ненулевые цифры?

Петя тратит &frac13; своего времени на игру в футбол, &frac15; – на учебу в школе, &frac16; – на просмотр кинофильмов, ¹/₇₀ – на решение олимпиадных задач и &frac13; – на сон. Можно ли так жить?

Числитель и знаменатель дроби – натуральные числа, дающие в сумме 101. Известно, что дробь не превосходит &frac13;.

Укажите наибольшее возможное значение такой дроби.

Существуют ли такие двузначные числа  <span style="text-decoration: overline;"><i>ab</i></span>,  <span style="text-decoration: overline;"><i>cd</i></span>,  что  <span style="text-decoration: overline;"><i>ab</i></span>·<span style="text-decoration: overline;"><i>cd</i></span> = <span style="text-decoration: overline;"><i>abcd</i></span>.

Какая из трех дробей наибольшая: 3/4, 4/5 или 5/6?

Можно ли разлить 50 л бензина по трём бакам так, чтобы в первом баке было на 10 л больше, чем во втором, а после переливания 26 л из первого бака в третий в третьем баке стало бы столько же бензина, сколько во втором?

Девять одинаковых воробьёв склёвывают меньше, чем 1001 зёрнышко, а десять таких же воробьёв склёвывают больше, чем 1100 зёрнышек. По скольку зёрнышек склёвывает каждый воробей?

Ира, Наташа, Алёша и Витя собирали грибы. Наташа собрала больше всех, Ира не меньше всех, а Алёша  — больше, чем Витя. Верно ли, что девочки собрали грибов больше, чем мальчики?

Напишите в строку пять чисел, чтобы сумма каждых двух соседних чисел была отрицательна, а сумма всех чисел – положительна.

Дано 25 чисел. Какие бы три из них мы ни выбрали, среди оставшихся найдётся такое четвёртое, что сумма этих четырёх чисел будет положительна. Верно ли, что сумма всех чисел положительна?

6 карасей легче 5 окуней, но тяжелее 10 лещей. Что тяжелее – 2 карася или 3 леща?

7 шоколадок дороже, чем 8 пачек печенья. Что дороже – 8 шоколадок или 9 пачек печенья?

Мандарин легче груши, а апельсин тяжелее мандарина. Что тяжелее  — груша или апельсин?

Яблоко тяжелее банана, а банан тяжелее киви. Что тяжелее  — киви или яблоко?

Отличник Поликарп и двоечник Колька составляли максимальное пятизначное число, которое состоит из различных нечётных цифр. Поликарп своё число составил правильно, а Колька ошибся – он не заметил в условии слово "различных" и очень радовался, что его число оказалось больше, чем число Поликарпа. Какие числа составили Поликарп и Колька?

Саша написал на доске несколько двузначных чисел в порядке возрастания, а после этого заменил одинаковые цифры на одинаковые буквы, а разные цифры – на разные буквы. У него получилось (в том же порядке) АС, АР, ЯР, ЯК, ОК, ОМ, УМ, УЖ, ИЖ, ИА Восстановите цифры.

Докажите, что при  <i>x</i> ≥ 0  имеет место неравенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/30879/problem_30879_img_2.gif">

Докажите, что при  <i>a, b, c</i> > 0  имеет место неравенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/30876/problem_30876_img_2.gif">

Докажите, что  ½ (<i>x</i>² + <i>y</i>²) ≥ <i>xy</i>  при любых <i>x</i> и <i>y</i>.