Олимпиадные задачи по теме «Графики и ГМТ на координатной плоскости» для 10 класса - сложность 2 с решениями

На координатной плоскости задан график функции  <i>y = kx + b</i>  (см. рисунок). В той же координатной плоскости схематически постройте график функции  <i>y = kx</i>² + <i>bx</i>. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116806/problem_116806_img_2.gif"></div>

На плоскости нарисовали кривые  <i>y</i> = cos <i>x</i>  и  <i>x</i> = 100 cos(100<i>y</i>)  и отметили все точки их пересечения, координаты которых положительны. Пусть <i>a</i> – сумма абсцисс, а <i>b</i> – сумма ординат этих точек. Найдите  ^<i>a</i>/_<i>b</i>.

Про функцию <i>f</i>(<i>x</i>) известно следующее: любая прямая на координатной плоскости имеет с графиком  <i>y = f</i>(<i>x</i>)  столько же общих точек, сколько с параболой  <i>y = x</i>².  Докажите, что  <i>f</i>(<i>x</i>) ≡ <i>x</i>².

Найдите такое значение $a > 1$,  при котором уравнение  $a^x = \log_a x$  имеет единственное решение.

Кривая на плоскости в некоторой системе координат (декартовой) служит графиком функции <i>y</i> = sin <i>x</i>. Может ли та же кривая являться графиком функции <i>y</i> = sin ²<i>x</i> в другой системе координат: если да, то каковы её начало координат и единицы длины на осях (относительно исходных координат и единиц длины)?

После урока на доске остался график функции  <i>y = ^k/_x</i>  и пять прямых, параллельных прямой  <i>y = kx</i>  (<i>k</i> ≠ 0).

Найдите произведение абсцисс всех десяти точек пересечения.

В магазине продают DVD-диски – по одному и упаковками двух видов (упаковки разных видов различаются по количеству и стоимости). Вася подсчитал, сколько требуется денег, чтобы купить <i>N</i> дисков (если выгоднее всего купить больше дисков, чем нужно – Вася так и делает): <div align="center"><img src="/storage/problem-media/111639/problem_111639_img_2.gif"></div>Сколько дисков было в упаковках и по какой цене упаковки продавались? Какое количество денег необходимо Васе, чтобы купить не менее 29 дисков?

Угол, образованный лучами  <i>y = x</i>  и  <i>y</i> = 2<i>x</i>  при  <i>x</i> ≥ 0,  высекает на параболе  <i>y = x</i>² + <i>px + q</i>  две дуги. Эти дуги спроектированы на ось <i>Ox</i>. Докажите, что проекция левой дуги на 1 короче проекции правой.

На параболе  <i>y = x</i>²  выбраны четыре точки <i>A, B, C, D</i> так, что прямые <i>AB</i> и <i>CD</i> пересекаются на оси ординат.

Найдите абсциссу точки <i>D</i>, если абсциссы точек <i>A, B</i> и <i>C</i> равны <i>a, b</i> и <i>c</i> соответственно.

На рисунке изображены графики трёх квадратных трёчленов.

Можно ли подобрать такие числа <i>a, b</i> и <i>c</i>, чтобы это были графики трёхчленов  <i>ax</i>² + <i>bx + c,  bx</i>² + <i>cx + a</i>  и  <i>cx</i>² + <i>ax + b</i>? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/109457/problem_109457_img_2.gif"></div>

Приведите пример многочлена <i>P</i>(<i>x</i>) степени 2001, для которого  <i>P</i>(<i>x</i>) + <i>P</i>(1 – <i>x</i>) ≡ 1.

Точки A и B взяты на графике функции y=1/x, x>0. Из них опущены перпендикуляры на ось абсцисс, основания перпендикуляров - H_A и H_B; O - начало координат. Докажите, что площадь фигуры, ограниченной прямыми OA, OB и дугой AB, равна площади фигуры, ограниченной прямыми AH_A, BH_B, осью абсцисс и дугой AB.

 Гриша едет по маршруту длиной 100 км. В его автомобиле имеется компьютер, дающий прогноз времени, оставшегося до прибытия в конечный пункт. Это время рассчитывается исходя из предположения, что средняя скорость автомобиля на оставшемся участке пути будет такой же, как и на уже пройденном.

  Сразу же после старта компьютер показал "2 часа" и всё дальнейшее время показывал именно это число (компьютер исправен). Найдите <i>x</i>(<i>t</i>) – зависимость пути, который проехал Гриша, от времени с момента старта. Постройте график этой зависимости.

Система уравнений второго порядка

   <i>x</i>² – <i>y</i>² = 0,

   (<i>x – a</i>)² + <i>y</i>² = 1

имеет, вообще говоря, четыре решения. При каких значениях <i>a</i> число решений системы уменьшается до трёх или до двух?

Существует ли на координатной плоскости точка, относительно которой симметричен график функции $f(x)=\frac{1}{2^x+1}$?

Учительница продиктовала Вовочке угловые коэффициенты и свободные члены трёх разных линейных функций, графики которых параллельны. Невнимательный Вовочка при записи каждой из функций поменял местами угловой коэффициент и свободный член и построил графики получившихся функций. Сколько могло получиться точек, через которые проходят хотя бы два графика?

К графикам функций $y=\cos x$ и $y=a \tan x$ провели касательные в некоторой точке их пересечения. Докажите, что эти касательные перпендикулярны друг другу для любого $a\neq0$.

Как известно, квадратное уравнение имеет не более двух корней. А может ли уравнение $[x^2] + px + q = 0$ при $p \ne 0$ иметь более 100 корней? ($[x^2]$ обозначает наибольшее целое число, не превосходящее $x^2$.)

На плоскости даны две параболы:  $y = x^2$  и  $y = x^2 - 1$.  Пусть $U$ – множество всех точек плоскости, лежащих между параболами (включая точки на самих параболах). Существует ли отрезок длины более $10^6$, целиком содержащийся в $U$?

Графики квадратного трёхчлена и его производной разбивают координатную плоскость на четыре части. Сколько корней имеет этот квадратный трёхчлен?

На координатной плоскости нарисованы графики двух приведённых квадратных трёхчленов и две непараллельные прямые <i>l</i>₁ и <i>l</i>₂. Известно, что отрезки, высекаемые графиками на <i>l</i>₁, равны, и отрезки, высекаемые графиками на <i>l</i>₂, также равны. Докажите, что графики трёхчленов совпадают.

График линейной функции  <i>у = kх + k</i> + 1,  где  <i>k</i> > 0,  пересекает оси координат в точках <i>А</i> и <i>В</i>.

Какова наименьшая возможная площадь треугольника <i>АВО</i> (<i>О</i> – начало координат)?

На листе бумаги построили параболу – график функции  <i>y = ax</i>² + <i>bx + c</i>  при  <i>a</i> > 0,  <i>b</i> > 0  и  <i>c</i> < 0,  – а оси координат стёрли (см. рис.).

Как они могли располагаться? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65911/problem_65911_img_2.gif"></div>

Две параболы с различными вершинами являются графиками квадратных трёхчленов со старшими коэффициентами <i>p</i> и <i>q</i>. Известно, что вершина каждой из парабол лежит на другой параболе. Чему может быть равно  <i>p + q</i>?

На координатной плоскости нарисованы четыре графика функций вида  <i>y = x</i>² + <i>ax + b</i>,  где <i>a, b</i> – числовые коэффициенты. Известно, что есть ровно четыре точки пересечения, причём в каждой пересекаются ровно два графика. Докажите, что сумма наибольшей и наименьшей из абсцисс точек пересечения равна сумме двух других абсцисс.