Олимпиадные задачи по теме «Планиметрия» для 2-5 класса - сложность 1 с решениями

Одну сторону прямоугольника увеличили в 3 раза, а другую уменьшили в 2 раза и получили квадрат.

Чему равна сторона квадрата, если площадь прямоугольника 54 м²?

Можно ли расставить на футбольном поле четырёх футболистов так, чтобы попарные расстояния между ними равнялись 1, 2, 3, 4, 5 и 6 метров?

Составьте квадрат, используя ровно четыре из пяти изображенных ниже фигур. Каждую из четырех выбранных Вами фигур можно использовать только один раз.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/104070/problem_104070_img_2.jpg"></div>

Найдите площадь фигур, изображенных на рисунке. <img src="/storage/problem-media/103947/problem_103947_img_2.png">

На кольцевой дороге расположены четыре бензоколонки:<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>и<i>D</i>. Расстояние между<i>A</i>и<i>B</i> — 50 км, между<i>A</i>и<i>C</i> — 40 км, между<i>C</i>и<i>D</i> — 25 км, между<i>D</i>и<i>A</i> — 35 км (все расстояния измеряются вдоль кольцевой дороги в кратчайшую сторону). а) Приведите пример расположения бензоколонок (с указанием расстояний между ними), удовлетворяющий условию задачи.

б) Найдите расстояние между <i>B</i> и <i>C</i> (укажите все возможности).

Угол при вершине журавлиного клина равен 20°.

Как изменится величина этого угла при рассматривании журавлей в бинокль с троекратным увеличением?

Легко можно разрезать квадрат на два равных треугольника или два равных четырёхугольника.

А как разрезать квадрат на два равных пятиугольника или два равных шестиугольника?

Как, не имея никаких измерительных средств, отмерить 50 см от шнурка, длина которого &frac23; метра?

Население Китая составляет один миллиард человек. Казалось бы, на карте Китая с масштабом1 : 1 000 000 (1 см: 10 км) сможет поместиться в миллион раз меньше людей, чем находится на всей территории страны. Однако на самом деле не только 1000, но даже 100 человек не смогут разместиться на этой карте. Можете ли вы объяснить это противоречие?

Чему равна площадь треугольника со сторонами 18, 17, 35?

И "бокал" (см. левый рисунок), и "рюмка" (см. правый рисунок) составлены из четырех спичек. Внутри каждого "сосуда"  — вишенка. Как нужно переместить "бокал" и "рюмку", переложив по две спички в каждом из них, чтобы вишенки оказались снаружи?<div align="center"><img src="/storage/problem-media/88185/problem_88185_img_2.gif"></div>

Около каждой вершины треугольника напишите какие-нибудь числа, возле каждой стороны треугольника напишите сумму чисел, стоящих на концах этой стороны. Теперь каждое число, стоящее около вершины, сложите с числом, стоящим около противоположной стороны. Как вы думаете, почему получились одинаковые суммы?

Попробуйте составить квадрат из набора палочек: 6 шт. по 1 см, 3 шт. по 2 см, 6 шт. по 3 см и 5 шт. по 4 см. Ломать палочки и накладывать одну на другую нельзя.

На линейке длиной 9 см нет делений.

Нанесите на неё три промежуточных деления так, чтобы ею можно было измерять расстояние от 1 до 9 см с точностью до 1 см.

Листок календаря частично закрыт предыдущим оторванным листком (см. рисунок). Вершины <i>A</i>и <i>B</i>верхнего листка лежат на <div align="center"><img src="/storage/problem-media/88095/problem_88095_img_2.gif"></div>сторонах нижнего листка. Четвёртая вершина нижнего листка не видна  — она закрыта верхним листком. Верхний и нижний листки, естественно, равны между собой. Какая часть нижнего листка больше  — закрытая или открытая?

На мачте пиратского корабля развевается двухцветный прямоугольный флаг, состоящий из чередующихся чёрных и белых вертикальных полос одинаковой ширины. Общее число полос равно числу пленных, находящихся в данный момент на корабле. Сначала на корабле было 12 пленных, а на флаге  — 12 полос; затем два пленных сбежали. Как разрезать флаг на две части, а затем сшить их, чтобы площадь флага и ширина полос не изменились, а число полос стало равным 10?

На прямоугольном торте лежит круглая шоколадка. Как разрезать торт на две равные части так, чтобы и шоколадка тоже разделилась ровно пополам?

Можно ли нарисовать эту картинку (см. рис.), не отрывая карандаша от бумаги и проходя по каждой линии по одному разу? <img align="middle" src="/storage/problem-media/32095/problem_32095_img_1.jpg">

На доске 25×25 расставлены 25 шашек, причём их расположение симметрично относительно диагонали.

Докажите, что одна из шашек расположена на диагонали.

а) Дан осесимметричный выпуклый 101-угольник. Докажите, что ось симметрии проходит через одну из его вершин.

б) Что можно сказать в случае десятиугольника?