Олимпиадные задачи по теме «Примеры и контрпримеры. Конструкции» для 4-10 класса - сложность 1 с решениями

Можно ли расположить на плоскости три вектора так, чтобы модуль суммы каждых двух из них был равен 1, а сумма всех трёх была равна нулевому вектору?

На некоторые клетки квадратной доски 4×4 выкладывают стопкой золотые монеты, а на остальные клетки – серебряные. Можно ли положить монеты так, чтобы в каждом квадрате 3×3 серебряных монет было больше, чем золотых, а на всей доске золотых было больше, чем серебряных?

Для игры в "Морской бой" на поле 8×8 клеток расставили 12 "двухпалубных" кораблей. Обязательно ли останется место для "трёхпалубного" корабля?  ("Двухпалубный" корабль – прямоугольник 1×2, а "трёхпалубный" – 1×3. Корабли могут соприкасаться, но накладываться друг на друга не должны.)

В 10 одинаковых кувшинов было разлито молоко – не обязательно поровну, но каждый оказался заполнен не более чем на 10%. За одну операцию можно выбрать кувшин и отлить из него любую часть поровну в остальные кувшины. Докажите, что не более чем за 10 таких операций можно добиться, чтобы во всех кувшинах молока стало поровну.

Можно ли квадрат разрезать на 9 квадратов и раскрасить их так, чтобы получились 1 белый, 3 серых и 5 чёрных квадратов, причём одноцветные квадраты были бы равны, а разноцветные квадраты – не равны?

Существует ли арифметическая прогрессия из 2011 натуральных чисел, в которой количество чисел, делящихся на 8, меньше, чем количество чисел, делящихся на 9, а последнее, в свою очередь, меньше, чем количество чисел, делящихся на 10?

В шестиугольнике пять углов по 90°, а один угол — 270° (см. рисунок). C помощью линейки без делений разделите его на два равновеликих многоугольника.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/116184/problem_116184_img_2.gif"></div>

Дана прямоугольная полоска размером 12×1. Oклейте этой полоской в два слоя куб с ребром 1 (полоску можно сгибать, но нельзя надрезать).

Kаждый из двух подобных треугольников разрезали на два треугольника так, что одна из получившихся частей одного треугольника подобна одной из частей другого треугольника. Bерно ли, что оставшиеся части также подобны?

Существуют ли два таких четырехугольника, что стороны первого меньше соответствующих сторон второго, а соответствующие диагонали больше?

На рисунке изображен параллелограмм и отмечена точка <i>P</i> пересечения его диагоналей. Проведите через <i>P</i> прямую так, чтобы она разбила параллелограмм на две части, из которых можно сложить ромб.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/116078/problem_116078_img_2.png"></div>

На доске записаны числа 1, 2¹, 2², 2³, 2⁴, 2⁵. Разрешается стереть любые два числа и вместо них записать их разность – неотрицательное число.

Может ли на доске в результате нескольких таких операций остаться только число 15?

Про числа<i> a </i>и<i> b </i>известно, что<i> a=b+</i>1. Может ли оказаться так, что<i> a⁴=b⁴ </i>?

На столе лежат в ряд пять монет: средняя – орлом вверх, а остальные – решкой вверх. За одну операцию разрешается одновременно перевернуть ровно три монеты, лежащие рядом. Можно ли, выполнив такую операцию несколько раз, добиться того, чтобы все пять монет лежали орлом вверх?

Существует ли невыпуклый пятиугольник, никакие две из пяти диагоналей которого не имеют общих точек (кроме вершин)?

Можно ли поставить на плоскости 100 точек (сначала первую, потом вторую и так далее до сотой) так, чтобы никакие три точки не лежали на одной прямой и чтобы в любой момент фигура, состоящая из уже поставленных точек, имела ось симметрии?

Сложите шесть спичек так, чтобы они образовали четыре равносторонних треугольника.

a) Придумайте три правильные несократимые дроби, сумма которых – целое число, а если каждую из этих дробей "перевернуть" (то есть заменить на обратную), то сумма полученных дробей тоже будет целым числом.

б) То же, но числители дробей – не равные друг другу натуральные числа.

Прямоугольник разрезан на несколько прямоугольников, периметр каждого из которых – целое число метров.

Верно ли, что периметр исходного прямоугольника – тоже целое число метров?

Художник-авангардист Змий Клеточкин покрасил несколько клеток доски размером 8×8, соблюдая правило: каждая следующая закрашиваемая клетка должна соседствовать по стороне с предыдущей закрашенной клеткой, но не должна — ни с одной другой ранее закрашенной клеткой. Ему удалось покрасить 36 клеток. Побейте его рекорд! (Жюри умеет закрашивать 42 клетки!)<img src="/storage/problem-media/103879/problem_103879_img_2.gif">

Художник-авангардист Змий Клеточкин покрасил несколько клеток доски размером 7×7, соблюдая правило: каждая следующая закрашиваемая клетка должна соседствовать по стороне с предыдущей закрашенной клеткой, но не должна соседствовать ни с одной другой ранее закрашенной клеткой. Ему удалось покрасить 31 клетку. Побейте его рекорд — закрасьте а) 32 клетки; б) 33 клетки.

<img src="/storage/problem-media/103872/problem_103872_img_2.gif">

Для постройки типового дома не хватало места. Архитектор изменил проект: убрал два подъезда и добавил три этажа. При этом количество квартир увеличилось. Он обрадовался и решил убрать ещё два подъезда и добавить ещё три этажа.

Могло ли при этом квартир стать даже меньше, чем в типовом проекте? (В каждом подъезде одинаковое число этажей и на всех этажах во всех подъездах одинаковое число квартир.)

На кольцевой дороге расположены четыре бензоколонки:<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>и<i>D</i>. Расстояние между<i>A</i>и<i>B</i> — 50 км, между<i>A</i>и<i>C</i> — 40 км, между<i>C</i>и<i>D</i> — 25 км, между<i>D</i>и<i>A</i> — 35 км (все расстояния измеряются вдоль кольцевой дороги в кратчайшую сторону). а) Приведите пример расположения бензоколонок (с указанием расстояний между ними), удовлетворяющий условию задачи.

б) Найдите расстояние между <i>B</i> и <i>C</i> (укажите все возможности).

Расположите в кружочках (вершинах правильного десятиугольника) числа от 1 до 10 так, чтобы для любых двух соседних чисел их сумма была равна сумме двух чисел, им противоположных (симметричных относительно центра окружности).<img src="/storage/problem-media/103826/problem_103826_img_2.gif">

Три ёжика делили три кусочка сыра массами 5 г, 8 г и 11 г. Лиса стала им помогать. Она может от любых двух кусочков одновременно отрезать и съесть по 1 г сыра. Сможет ли лиса оставить ёжикам равные кусочки сыра?