Олимпиадные задачи из источника «Рамблер-Наука - задача дня (www.nature.ru)» для 10-11 класса - сложность 1-2 с решениями

Найти все действительные решения системы уравнений

    <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² = 1,

    <i>x</i>³ + <i>y</i>³ + <i>z</i>³ = 1.

Число ¹/₄₂ разложили в бесконечную десятичную дробь. Затем вычеркнули 1997-ю цифру после запятой, а все цифры, стоящие справа от вычеркнутой цифры, сдвинули на 1 влево. Какое число больше: новое или первоначальное?

По кругу записаны семь натуральных чисел. Известно, что в каждой паре соседних чисел одно делится на другое.

Докажите, что найдётся пара и не соседних чисел с таким же свойством.

В выборах в 100-местный парламент участвовали 12 партий. В парламент проходят партии, за которые проголосовало строго больше 5% избирателей. Между прошедшими в парламент партиями места распределяются пропорционально числу набранных ими голосов. После выборов оказалось, что каждый избиратель проголосовал ровно за одну из партий (недействительных бюллетеней, голосов "против всех" и т. п. не было) и каждая партия получила целое число мест. При этом Партия любителей математики набрала 25% голосов. Какое наибольшее число мест в парламенте она могла получить?

Найдите все такие пары натуральных чисел <i>x, y</i>, что числа  <i>x</i>³ + <i>y</i>  и  <i>y</i>³ + <i>x</i>  делятся на  <i>x</i>² + <i>y</i>².

Десятичная запись натурального числа <i>a</i> состоит из <i>n</i> цифр, а десятичная запись числа <i>a</i>³ состоит из <i>m</i> цифр. Может ли  <i>m + n</i>  равняться 2001?

Имеется 19 гирек весов 1, 2, 3, ..., 19 г: девять железных, девять бронзовых и одна золотая. Известно, что общий вес всех железных гирек на 90 г больше общего веса бронзовых. Найдите вес золотой гирьки.

Коэффициенты квадратного уравнения  <i>x</i>² + <i>px + q</i> = 0  изменили не больше чем на 0,001.

Может ли больший корень уравнения измениться больше, чем на 1000?

<i>p</i>(<i>x</i>) – многочлен с целыми коэффициентами. Известно, что для некоторых целых <i>a</i> и <i>b</i> выполняется равенство:  <i>p</i>(<i>a</i>) – <i>p</i>(<i>b</i>) = 1.

Докажите, что <i>a</i> и <i>b</i> различаются на 1.

Существует ли многогранник (не обязательно выпуклый), полных список рёбер которого имеет вид: <i>AB, AC, BC, BD, CD, DE, EF, EG, FG, FH, GH, AH</i> (на рисунке приведена схема соединения рёбер)? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/97791/problem_97791_img_2.gif"></div>

Доказать, что любое действительное положительное число можно представить в виде суммы девяти чисел, десятичная запись (каждого из) которых состоит из цифр 0 и 7.

Доказать, что существует бесконечно много чисел, не представимых в виде суммы трёх кубов.

Квадратная таблица в <i>n</i>² клеток заполнена числами от 1 до <i>n</i> так, что в каждой строке и каждом столбце встречаются все эти числа. Если <i>n</i> нечётно и таблица симметрична относительно диагонали, идущей из левого верхнего угла в правый нижний, то на этой диагонали встретятся все эти числа 1, 2, 3,..., <i>n</i>. Доказать.

Докажите, что в любой бесконечной десятичной дроби можно так переставить цифры, что полученная дробь станет рациональным числом.

Докажите, что для составного числа 561 справедлив аналог малой теоремы Ферма: если  (<i>a</i>, 561) = 1,  то  <i>a</i>⁵⁶⁰ ≡ 1 (mod 561).

Докажите неравенство для натуральных <i>n</i>:   <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/60301/problem_60301_img_2.gif">

Если повернуть многоугольник вокруг некоторой точки на 70 градусов, то он совместится сам с собой. Какое наименьшее число вершин может быть у такого многоугольника?

Существует ли четырехугольная пирамида, у которой две противоположные боковые грани перпендикулярны основанию?

На суде в качестве вещественного доказательства предъявлено 14 монет. Эксперт обнаружил, что монеты с 1-й по 7-ю фальшивые, а с 8-й по 14-ю – настоящие. Суд знает только, что фальшивые монеты весят одинаково, настоящие монеты весят одинаково, и что фальшивые монеты легче настоящих. В распоряжении эксперта – чашечные весы без гирь. Как с помощью трёх взвешиваний эксперту доказать, что монеты с 1-й по 7-ю фальшивые, а с 8-й по 14-ю – настоящие?

Дан тетраэдр, у которого периметры всех граней равны между собой. Докажите, что сами грани равны между собой.

Даны многочлены <i>P</i>₁, <i>P</i>₂, ... , <i>P</i>₅, имеющие суммы коэффициентов, равные 1, 2, 3, 4, 5 соответственно.

Найдите сумму коэффициентов многочлена  <i>Q</i> = <i>P</i>₁<i>P</i>₂...<i>P</i>₅.

В пространстве даны параллелограмм <i>ABCD</i> и плоскость <i>M</i>. Расстояния от точек <i>A</i>, <i>B</i> и <i>C</i> до плоскости <i>M</i> равны соответственно <i>a</i>, <i>b</i> и <i>c</i>.

Найти расстояние <i>d</i> от вершины <i>D</i> до плоскости <i>M</i>.

На круглой сковороде площади 1 испекли выпуклый блин площади больше ½. Докажите, что центр сковороды находится под блином.

Докажите, что никакой выпуклый многоугольник нельзя разрезать на 100 различных правильных треугольников.

Существует ли отличный от куба шестигранник, у которого все грани являются равными ромбами?