Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Производящие функции» - сложность 4 с решениями

Пусть   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61519/problem_61519_img_2.gif">   – производящая функция последовательности <i>чисел Каталана</i>. Докажите, что она удовлетворяет равенству <div align="CENTER"><i>C</i>(<i>x</i>) = <i>xC</i>²(<i>x</i>) + 1, </div>и получите явный вид функции<i>C</i>(<i>x</i>). Определение чисел Каталана можно найти в<a href="https://problems.ru/thes.php?letter=23#chisla_catalana">справочнике</a>.

Найдите общую формулу для коэффициентов ряда<div align="CENTER"> (1 - 4<i>x</i>)^{- $\scriptstyle {\textstyle\frac{1}{2}}$} = 1 + 2<i>x</i> + 6<i>x</i>² + 20<i>x</i>³ +...+ <i>a</i>_n<i>x</i>ⁿ +... </div>