Олимпиадные задачи из источника «параграф 4. Многочлены Гаусса» для 5-11 класса - сложность 2 с решениями
параграф 4. Многочлены Гаусса
НазадПусть <i>f<sub>k,l</sub></i>(<i>x</i>) – производящая функция последовательности <i>P<sub>k,l</sub></i>(<i>n</i>) из задачи <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161525">161525</a>: <i>f<sub>k,l</sub></i>(<i>x</i>) = <i>P<sub>k,l</sub></i>(0) + <i>xP<sub>k,l</sub></i>(1) + ... + <i>x<sup>kl</sup>P<sub>k,l</sub></i>(<i>kl</i>). а) Докажите равенства: <i>f<sub>k,l</sub></i>(<i>x</i>) = <i>f</i><sub><i>k</i>–1,<i>l</i></sub>(<i>x</i>) + <i>x<sup>k</sup>f...
Обозначим через <i>P<sub>k,l</sub></i>(<i>n</i>) количество разбиений числа <i>n</i> на не более чем <i>k</i> слагаемых, каждое из которых не превосходит <i>l</i>.
Докажите равенства:
а) <i>P<sub>k,l</sub></i>(<i>n</i>) – <i>P</i><sub><i>k,l</i>–1</sub>(<i>n</i>) = <i>P</i><sub><i>k</i>–1,<i>l</i></sub>(<i>n – l</i>);
б) <i>P<sub>k,l</sub></i>(<i>n</i>) – <i>P</i><sub><i>k</i>–1,<i>l</i></sub>(<i>n</i>) = <i>P</i><sub><i>k,l</i>–1</sub&...
Найдите сумму <i>S<sub>l</sub></i>(<i>x</i>) = <i>g</i><sub>0,<i>l</i></sub>(<i>x</i>) – <i>g</i><sub>1,<i>l</i>–1</sub>(<i>x</i>) + <i>g</i><sub>2,<i>l</i>–2</sub>(<i>x</i>) – ... + (–1)<i><sup>l</sup>g</i><sub><i>l</i>,0</sub>(<i>x</i>).
Определение многочленов Гаусса <i>g<sub>k,l</sub></i>(<i>x</i>) можно найти в <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=12#gaussa">справочнике</a>.
а) Определение (смотри в <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=12#gaussa">справочнике</a>) функций <i>g<sub>k,l</sub></i>(<i>x</i>) не позволяет вычислять их значения при <i>x</i> = 1. Но, поскольку функции <i>g<sub>k,l</sub></i>(<i>x</i>) являются многочленами, они определены и при <i>x</i> = 1. Докажите равенство <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61523/problem_61523_img_2.gif"> б) Какие свойства биномиальных коэффициентов получаются, если в свойства б) – г) из задачи <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161522">161522</a> подставить значение <i>x</i> = 1?