Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Размещения, перестановки и сочетания» для 7-10 класса - сложность 3 с решениями
параграф 3. Размещения, перестановки и сочетания
НазадНа сколько частей разделяют<i>n</i>-угольник его диагонали, если никакие три диагонали не пересекаются в одной точке?
Найдите суммы рядов а) <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60427/problem_60427_img_2.gif">
б) <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60427/problem_60427_img_3.gif">
в) <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60427/problem_60427_img_4.gif"> (<i>r</i> ≥ 2).
Найдите сумму (см. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/160424">160424</a> про треугольник Лейбница):
<sup>1</sup>/<sub>12</sub> + <sup>1</sup>/<sub>30</sub> + <sup>1</sup>/<sub>60</sub> + <sup>1</sup>/<sub>105</sub> + ...
и обобщите полученный результат.
Докажите равенства (см. <i>треугольник Лейбница</i>, задача <a href="https://mirolimp.ru/tasks/160424">160424</a>): а) 1 = <sup>1</sup>/<sub>2</sub> + <sup>1</sup>/<sub>6</sub> + <sup>1</sup>/<sub>12</sub> + <sup>1</sup>/<sub>20</sub> + <sup>1</sup>/<sub>30</sub> + ... ; б) <sup>1</sup>/<sub>2</sub> = <sup>1</sup>/<sub>3</sub> + <sup>1</sup>/<sub>12</sub> + <sup>1</sup>/<sub>30</sub> + <sup>1</sup>/<sub>60</sub> + <sup>1</sup>/<sub>105</sub> + ... ; в) <sup>1</sup>/<sub>3&...
При каких значениях <i>n</i> все коэффициенты в разложении бинома Ньютона (<i>a + b</i>)<sup><i>n</i></sup> нечётны?