Олимпиадные задачи из источника «глава 2. Комбинаторика» для 7 класса - сложность 2 с решениями

Докажите, что для любого натурального <i>a</i> найдётся такое натуральное <i>n</i>, что все числа  <i>n</i> + 1,  <i>nⁿ</i> + 1,  <i>n^nⁿ</i> + 1,  ...  делятся на <i>a</i>.

На плоскости даны шесть точек так, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Каждая пара точек соединена отрезком синего или красного цвета. Докажите, что среди данных точек можно выбрать такие три, что все стороны образованного ими треугольника будут окрашены в один цвет.

В волейбольном турнире команды играют друг с другом по одному матчу. За победу дается одно очко, за поражение – ноль. Известно, что в один из моментов турнира все команды имели разное количество очков. Сколько очков набрала в конце турнира предпоследняя команда, и как она сыграла с победителем?

Какое наибольшее число королей можно поставить на шахматной доске так, чтобы никакие два из них не били друг друга?

Некоторые точки из данного конечного множества соединены отрезками. Докажите, что найдутся две точки, из которых выходит поровну отрезков.

Сколько существует девятизначных чисел, сумма цифр которых чётна?

Сколько существует десятизначных чисел, в записи которых имеется хотя бы две одинаковые цифры?

В некоторой школе каждый школьник знаком с 32 школьницами, а каждая школьница – с 29 школьниками. Кого в школе больше: школьников или школьниц и во сколько раз?

а) Найдите сумму всех трёхзначных чисел, которые можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4 (цифры могут повторяться).

б) Найдите сумму всех семизначных чисел, которые можно получить всевозможными перестановками цифр 1, ..., 7.

На складе имеется по 200 сапог 41, 42 и 43 размеров, причём среди этих 600 сапог 300 левых и 300 правых.

Докажите, что из них можно составить не менее 100 годных пар обуви.

Несколько футбольных команд проводят турнир в один круг.

Докажите, что в любой момент турнира найдутся две команды, сыгравшие к этому моменту одинаковое число матчей.