Олимпиадные задачи из источника «глава 3. Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики» для 4-11 класса - сложность 4-5 с решениями

Докажите, что для любых целых чисел <i>p</i> и <i>q</i>  (<i>q</i> ≠ 0),  справедливо неравенство   <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/60621/problem_60621_img_2.gif">

Решите в целых числах уравнения:   а)  <i>x</i>² – <i>xy – y</i>² = 1;   б)  <i>x</i>² – <i>xy – y</i>² = –1.

Докажите равенства а)$\sqrt[4]{\dfrac{7+3\sqrt5}{2}}$-$\sqrt[4]{\dfrac{7-3\sqrt5}{2}}$= 1; б)$\sqrt[5]{\dfrac{11+5\sqrt5}{2}}$+$\sqrt[9]{\dfrac{76-34\sqrt5}{2}}$= 1. Найдите общую формулу, для которой данные равенства являются частными случаями.

Может ли быть так, что   а)  σ(<i>n</i>) > 3<i>n</i>;   б)  σ(<i>n</i>) > 100<i>n</i>?