Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Мультипликативные функции»

Даны два натуральных числа <i>m</i> и <i>n</i>. Выписываются все различные делители числа <i>m</i> – числа <i>a, b, ..., k</i> – и все различные делители числа <i>n</i> – числа <i>s, t, ..., z</i>. (Само число и 1 тоже включаются в число делителей.) Оказалось, что  <i>a + b + ... + k = s + t + ... + z</i>  и  ¹/_<i>a</i> + ¹/_<i>b</i> + ... + ¹/_<i>k</i> = ¹/_<i>s</i> + ¹/_<i>t</i> + ... + ¹/<sub>&l...

Доказать: число делителей <i>n</i> не превосходит 2<img width="27" height="33" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/78208/problem_78208_img_2.gif">.

Существует ли такое целое число <i>r</i>, что  <img width="41" height="51" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60559/problem_60559_img_2.gif">  является целым числом при любом <i>n</i>?

Докажите, что число  <img width="100" height="53" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60558/problem_60558_img_2.gif">  (<i>m</i>, <i>n</i> ≥ 0)  целое.

При помощи <i>формулы Лежандра</i> (см. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/160553">160553</a>) докажите, что число   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60557/problem_60557_img_2.gif">   целое.

Пусть <i>p</i> – простое число и представление числа <i>n</i> в <i>p</i>-ичной системе имеет вид:   <i>n = a_kp^k + a</i>_<i>k</i>–1<i>p</i>^<i>k</i>–1 + ... + <i>a</i>₁<i>p</i>¹ + <i>a</i>₀.

Найдите формулу, выражающую показатель α_<i>p</i>, с которым это число <i>p</i> входит в каноническое разложение <i>n</i>!, через <i>n, p</i>, и коэффициенты <i>a_k</i>.

Пусть представление числа <i>n</i> в двоичной системе выглядит следующим образом:   <i>n</i> = 2^<i>e</i>₁ + 2^<i>e</i>₂ +...+ 2<i>^e_r</i>   (<i>e</i>₁ > <i>e</i>₂ > ... > <i>e_r</i> ≥ 0).

Докажите, что <i>n</i>! делится на 2^<i>n–r</i>, но не делится на 2^{<i>n–r</i>+1}.

Докажите, что число <i>p</i> входит в разложение <i>n</i>! с показателем, не превосходящим   <img align="absMIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60554/problem_60554_img_2.gif">

Число <i>n</i>! разложено в произведение простых чисел:   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/60553/problem_60553_img_2.gif">   Докажите равенство   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/60553/problem_60553_img_3.gif">

Докажите, что для действительного положительного α и натурального <i>d</i> всегда выполнено равенство  [^α/_<i>d</i>] = [^[α]/_<i>d</i>].

Пусть α – действительное положительное число, <i>d</i> – натуральное.

Докажите, что количество натуральных чисел, не превосходящих α и делящихся на <i>d</i>, равно  [^α/_<i>d</i>].

Найдите наименьшее число вида  <i>n</i> = 2^α<i>pq</i>,  где <i>p</i> и <i>q</i> – некоторые нечётные простые числа, для которого  σ(<i>n</i>) = 3<i>n</i>.

Может ли быть так, что   а)  σ(<i>n</i>) > 3<i>n</i>;   б)  σ(<i>n</i>) > 100<i>n</i>?

  Числа <i>m</i> и <i>n</i> называются <i>дружественными</i>, если сумма собственных делителей числа <i>m</i> равна <i>n</i> и, наоборот, сумма собственных делителей числа <i>n</i> равна <i>m</i>. Другими словами, числа <i>m</i> и <i>n</i> являются дружественными, если  σ(<i>m</i>) – <i>m = n</i>  и  σ(<i>n</i>) – <i>n = m</i>.

  Докажите, что если все три числа  <i>p</i> = 3·2^<i>k</i>–1 – 1,  <i>q</i> = 3·2^<i>k</i> – 1  и  <i>r</i> = 9·2^{2<i>k</i>–1} – 1  – простые, то числа  <i>m</i&gt...

Докажите, что если <i>n</i> – чётное совершенное число, то оно имеет вид  <i>n</i> = 2^<i>k</i>–1(2^<i>k</i> – 1),  и  <i>p</i> = 2^<i>k</i> – 1  – <i>простое число Мерсенна</i>.

Число <i>n</i> называется <i>совершенным</i>, если  σ(<i>n</i>) = 2<i>n</i>.

Докажите, что если  2^<i>k</i> – 1 = <i>p</i>  – некоторое <i>простое число Мерсенна</i>, то  <i>n</i> = 2^<i>k</i>–1(2^<i>k</i> – 1)  – совершенное число.

Пусть  (<i>m, n</i>) > 1.  Что больше  τ(<i>mn</i>)  или  τ(<i>m</i>)τ(<i>n</i>)?  Исследуйте тот же вопрос для функции σ(<i>n</i>).

Докажите мультипликативность функций τ(<i>n</i>) и σ(<i>n</i>).

Найдите натуральное число вида  <i>n</i> = 2^<i>x</i>3^<i>y</i>5^<i>z</i>,  зная, что половина его имеет на 30 делителей меньше, треть – на 35 и пятая часть – на 42 делителя меньше, чем само число.

Некоторое натуральное число <i>n</i> имеет два простых делителя. Его квадрат имеет  а) 15;  б) 81 делителей. Сколько делителей имеет куб этого числа?

Найдите натуральное число <i>n</i>, зная, что оно имеет два простых делителя и удовлетворяет условиям  τ(<i>n</i>) = 6,  σ(<i>n</i>) = 28.

Пусть τ(<i>n</i>) – количество положительных делителей натурального числа  <i>n</i> = <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60537/problem_60537_img_2.gif">,  а σ(<i>n</i>)  – их сумма. Докажите равенства:

  а)  τ(<i>n</i>) = (α₁ + 1)...(α_<i>s</i> + 1);   б)  σ(<i>n</i>) = <img width="75" height="57" align="absMIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60537/problem_60537_img_3.gif">·...·<img width="75" height="55" align="absMIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60537/problem_60537_img_4.gif">.

Для каждого <i>k</i> от 1 до 6 найдите наименьшее натуральное число, которое имеет ровно <i>k</i> различных делителей.

Сколько различных делителей имеют числа    а)  2·3·5·7·11;    б)  2²·3³·5⁵·7⁷·11¹¹ ?

Приведите пример, когда равенство  (<i>a, b, c</i>)[<i>a, b, c</i>] = <i>abc</i>  не выполнено. Каким неравенством всегда будут связаны числа  (<i>a, b, c</i>)[<i>a, b, c</i>]  и <i>abc</i>?