Задача
Докажите, что если n – чётное совершенное число, то оно имеет вид n = 2k–1(2k – 1), и p = 2k – 1 – простое число Мерсенна.
Решение
Представим n в виде n = 2k–1b, где b – нечётное число, k ≥ 2. Тогда 2kb = 2n = σ(n) = σ(2k–1)σ(b) = (2k – 1)σ(b).
Отсюда b = (2k – 1)c, σ(b) = 2kc = b + c.
Если c ≠ 1, то у числа b существует по крайней мере три положительных делителя: b, c и 1. В этом случае σ(b) ≥ 1 + b + c, что противоречит равенству σ(b) = b + c.
Поэтому c = 1, σ(b) = b + 1, то есть b = 2k – 1 – простое число. Согласно задаче 160481 это возможно только при простых значениях показателя k. Таким образом, n имеет вид 2p–1(2p – 1), где p и b = 2p – 1 – простые числа.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь