Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. Делимость» для 11 класса - сложность 2-5 с решениями

а) Докажите, что если <i>p</i> — простое число и  2 ≤ <i>k ≤ p</i> – 2,  то  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60670/problem_60670_img_2.gif">  делится на <i>p</i>. б) Верно ли обратное утверждение?

Докажите утверждение обратное тому, что было в задаче <a href="https://mirolimp.ru/tasks/160668">160668</a>:

     если  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60669/problem_60669_img_2.gif">  делится на <i>n</i> при всех  1 ≤ <i>k ≤ n</i> – 1,  то <i>n</i> – простое число.

Докажите, что в трёхзначном числе, кратном 37, всегда можно переставить цифры так, что новое число также будет кратно 37.

Решите в целых числах уравнения:

  а)  3<i>x</i>² + 5<i>y</i>² = 345;

  б)  1 + <i>x + x² + x</i>³ = 2^<i>y</i>.