Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. Делимость» для 2-7 класса - сложность 1-4 с решениями

Имеется n целых чисел. Доказать, что среди них найдется несколько, или быть может одно, сумма которых делится на n.

На 99 карточках пишутся числа 1, 2, ..., 99. Затем карточки тасуются и раскладываются чистыми сторонами вверх. На чистых сторонах карточек снова пишутся числа 1, 2, ..., 99. Для каждой карточки числа, стоящие на ней, складываются и 99 полученных сумм перемножаются. Докажите, что в результате получится чётное число.

Имеется много одинаковых квадратов. В вершинах каждого из них в произвольном порядке написаны числа 1, 2, 3 и 4. Квадраты сложили в стопку и написали сумму чисел, попавших в каждый из четырёх углов стопки. Может ли оказаться так, что

  а) в каждом углу стопки сумма равна 2004?

  б) в каждом углу стопки сумма равна 2005?

Назовём шестизначное число <i>счастливым</i>, если сумма его первых трёх цифр равна сумме последних трёх цифр. Докажите, что сумма всех счастливых чисел делится на 13. (Числа, записываемые менее, чем шестью цифрами, в этой задаче также считаются шестизначными.)

Докажите, что число  1¹⁹⁹⁹ + 2¹⁹⁹⁹ + ... + 16¹⁹⁹⁹  делится на 17.

Докажите, что для любого простого числа  <i>p</i> > 2  числитель дроби  ^<i>m</i>/_<i>n</i> = ¹/₁ + ¹/₂ + ... + ¹/_<i>p</i>–1  делится на <i>p</i>.

Докажите, что любое натуральное число, десятичная запись которого состоит из 3<i>n</i> одинаковых цифр, делится на 37.

<i>a, b, c</i> – целые числа, причём  <i>a + b + c</i>  делится на 6. Докажите, что  <i>a</i>³ + <i>b</i>³ + <i>c</i>³  тоже делится на 6.

а) Докажите, что  <i>p</i>² – 1  делится на 24, если <i>p</i> – простое число и  <i>p</i> > 3.

б) Докажите, что  <i>p</i>² – <i>q</i>²  делится на 24, если <i>p</i> и <i>q</i> – простые числа, большие 3.