Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Сравнения» для 6-7 класса - сложность 2 с решениями

Докажите, что если  6<i>n</i> + 11<i>m</i>  делится на 31, то  <i>n</i> + 7<i>m</i>  также делится на 31.

а) При каких целых <i>n</i> число  5<i>n</i>² + 10<i>n</i> + 8  делится на 3?

б) А при каких на 4?

Пусть <i>a</i> и <i>b</i> – целые числа. Докажите, что

  а) если  <i>a</i>² + <i>b</i>²  делится на 3, то  <i>a</i>² + <i>b</i>²  делится на 9;

  б) если  <i>a</i>² + <i>b</i>²  делится на 21, то  <i>a</i>² + <i>b</i>²  делится на 441.

Найдите последнюю цифру числа 7^{7^7⁷}.

Составьте список всевозможных остатков, которые дают числа <i>n</i>² при делении на 3, 4, 5, ..., 9.

В магазине было 6 ящиков, массы которых соответственно 15, 16, 18, 19, 20 и 31 килограммов. Две фирмы приобрели пять ящиков, причём одна из них взяла по массе яблок в два раза больше чем другая. Какой ящик остался в магазине?

Иван-царевич имеет два волшебных меча, один из которых может отрубить Змею Горынычу 21 голову, а второй – 4 головы, но тогда у Змея Горыныча вырастает 1999 голов. Сможет ли Иван отрубить Змею Горынычу все головы, если в самом начале у Змея было 100 голов? (Если, например, у Змея Горыныча осталось лишь три головы, то рубить их ни тем, ни другим мечом нельзя.)

Разочарованный вкладчик фонда "Нефтьалмазинвест" разорвал акцию на 8 кусков. Не удовлетворившись этим, он разорвал один из кусков еще на 8, и т.д.

Могло ли у него получиться 2002 куска?

Имеется 100 камней. Два игрока берут по очереди от 1 до 5 камней. Проигрывает тот, кто берет последний камень.

Определите выигрышную стратегию первого игрока.

Доказать, что квадрат натурального числа не может оканчиваться на две нечётные цифры.

Докажите, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не является точным квадратом.

<i>p</i> и  <i>p</i>² + 2  – простые числа. Докажите, что  <i>p</i>² + 2  – также простое число.

а) <i>p,  p</i> + 10,  <i>p</i> + 14  – простые числа. Найдите <i>p</i>.б) <i>p</i>,  2<i>p</i> + 1,  4<i>p</i> + 1  – простые числа. Найдите <i>p</i>.

Докажите, что  2222⁵⁵⁵⁵ + 5555²²²²  делится на 7.