Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Сравнения» для 8 класса - сложность 1-5 с решениями

Дано <i>n</i> чисел, <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, ..., <i>x_n</i>, при этом  <i>x_k</i> = ±1.  Доказать, что если  <i>x</i>₁<i>x</i>₂ + <i>x</i>₂<i>x</i>₃ + ... + <i>x_nx</i>₁ = 0,  то <i>n</i> делится на 4.

Известно, что  <i>ax</i>⁴ + <i>bx</i>³ + <i>cx</i>² + <i>dx + e</i>,  где <i>a, b, c, d, e</i> – данные целые числа, при любом целом <i>x</i> делится на 7.

Доказать, что все числа <i>a, b, c, d, e</i> делятся на 7.

Пусть числа <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, ..., <i>x_m</i> образуют полную систему вычетов по модулю <i>m</i>. Для каких <i>a</i> и <i>b</i> числа  <i>y_j = ax_j + b</i>  (<i>j</i> = 1, ..., <i>m</i>)  также образуют полную систему вычетов по модулю <i>m</i>?

Докажите, что любые <i>m</i> чисел <i>x</i>₁,..., <i>x_m</i>, попарно не сравнимые по модулю <i>m</i>, представляют собой полную систему вычетов по модулю <i>m</i>.

Докажите, что два класса <span style="text-decoration: overline;"><i>a</i></span> и <span style="text-decoration: overline;"><i>b</i></span> совпадают тогда и только тогда, когда  <i>a ≡ b</i> (mod <i>m</i>).

Докажите, что класс <span style="text-decoration: overline;"><i>a</i></span> состоит из всех чисел вида  <i>mt + a</i>,  где <i>t</i> – произвольное целое число.

Докажите что если  (<i>m, n</i>) = 1,  то сравнение   <i>a ≡ b</i> (mod <i>mn</i>)  равносильно одновременному выполнению двух сравнений  <i>a ≡ b</i> (mod <i>m</i>)  и  <i>a ≡ b</i> (mod <i>n</i>).

Решите в натуральных числах уравнение   1! + 2! + ... + <i>n</i>! = <i>m</i>².

Докажите, что числа  <i>H_n</i> = 1 + ¹/₂ + ¹/₃ + ... + ¹/_<i>n</i>  при  <i>n</i> > 1  не будут целыми.

Докажите, что <i>p</i> – простое тогда и только тогда, когда   (<i>p</i> – 2)! ≡ 1 (mod <i>p</i>).

Докажите, что для простого <i>p</i>   (<i>p</i> – 1)! ≡ – 1 (mod <i>p</i>).

<i>p</i> – простое число. Для каких чисел <i>a</i> решением сравнения  <i>ax</i> ≡ 1 (mod <i>p</i>)  будет само число <i>a</i>?

Найдите все такие пары чисел вида <span style="text-decoration: overline;">1<i>xy</i>2</span> и <span style="text-decoration: overline;"><i>x</i>12<i>y</i></span>, что оба числа делятся на 7.

Докажите, что если  6<i>n</i> + 11<i>m</i>  делится на 31, то  <i>n</i> + 7<i>m</i>  также делится на 31.

Может ли число  ¹/₃ (<i>n</i>² + 1)  быть целым при натуральном <i>n</i>?

При каких целых <i>n</i> выражение  <i>n</i>² – <i>n</i> – 4  делится на а) 17;  б) 289?

При каких целых <i>n</i> выражение  <i>n</i>² – 6<i>n</i> – 2  делится на  а) 8;  б) 9;  в) 11;  г) 121?

а) При каких целых <i>n</i> число  5<i>n</i>² + 10<i>n</i> + 8  делится на 3?

б) А при каких на 4?

Пусть в прямоугольном треугольнике длины сторон выражаются целыми числами. Докажите, что

  а) длина одного из катетов кратна 3,

  б) длина одной из трёх сторон делится на 5.

Найдите остаток от деления на 17 числа  2¹⁹⁹⁹ + 1.

Целые числа <i>a, b</i> и <i>c</i> таковы, что  <i>a</i>³ + <i>b</i>³ + <i>c</i>³  делится на 7. Докажите, что <i>abc</i> делится на 7.

Целые числа <i>a, b, c</i> и <i>d</i> таковы, что  <i>a</i>⁴ + <i>b</i>⁴ + <i>c</i>⁴ + <i>d</i>⁴  делится на 5. Докажите, что <i>abcd</i> делится на 625.

Пусть <i>a</i> и <i>b</i> – целые числа. Докажите, что

  а) если  <i>a</i>² + <i>b</i>²  делится на 3, то  <i>a</i>² + <i>b</i>²  делится на 9;

  б) если  <i>a</i>² + <i>b</i>²  делится на 21, то  <i>a</i>² + <i>b</i>²  делится на 441.

Найдите последнюю цифру числа 7^{7^7⁷}.

Найдите конечную арифметическую прогрессию с разностью 6 максимальной длины, состоящую из простых чисел.