Олимпиадные задачи из источника «глава 4. Арифметика остатков» для 6-8 класса - сложность 3-5 с решениями
Дано <i>n</i> чисел, <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, ..., <i>x<sub>n</sub></i>, при этом <i>x<sub>k</sub></i> = ±1. Доказать, что если <i>x</i><sub>1</sub><i>x</i><sub>2</sub> + <i>x</i><sub>2</sub><i>x</i><sub>3</sub> + ... + <i>x<sub>n</sub>x</i><sub>1</sub> = 0, то <i>n</i> делится на 4.
Найдите такое наименьшее чётное натуральное число <i>a</i>, что <i>a</i> + 1 делится на 3, <i>a</i> + 2 – на 5, <i>a</i> + 3 – на 7, <i>a</i> + 4 – на 11, <i>a</i> + 5 – на 13.
Найдите остаток от деления числа 1000! на 10<sup>250</sup>.
Двое пишут а) 30-значное; б) 20-значное число, употребляя только цифры 1, 2, 3, 4, 5. Первую цифру пишет первый, вторую – второй, третью – первый и т. д. Может ли второй добиться того, чтобы полученное число разделилось на 9, если первый стремится ему помешать?
Докажите, что 7<sup>51</sup> – 1 делится на 103.
Найдите сумму всех правильных несократимых дробей со знаменателем <i>n</i>.
Докажите, что если <i>x</i>² + 1 (<i>x</i> – целое) делится на нечётное простое <i>p</i>, то <i>p</i> = 4<i>k</i> + 1.
Докажите, что числа <i>H<sub>n</sub></i> = 1 + <sup>1</sup>/<sub>2</sub> + <sup>1</sup>/<sub>3</sub> + ... + <sup>1</sup>/<sub><i>n</i></sub> при <i>n</i> > 1 не будут целыми.
Докажите, что <i>p</i> – простое тогда и только тогда, когда (<i>p</i> – 2)! ≡ 1 (mod <i>p</i>).
Докажите, что для простого <i>p</i> (<i>p</i> – 1)! ≡ – 1 (mod <i>p</i>).
Целые числа <i>a, b, c</i> и <i>d</i> таковы, что <i>a</i><sup>4</sup> + <i>b</i><sup>4</sup> + <i>c</i><sup>4</sup> + <i>d</i><sup>4</sup> делится на 5. Докажите, что <i>abcd</i> делится на 625.
Докажите, что среди любых десяти последовательных натуральных чисел найдётся число, взаимно простое с остальными.
а) Докажите, что если <i>p</i> — простое число и 2 ≤ <i>k ≤ p</i> – 2, то <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60670/problem_60670_img_2.gif"> делится на <i>p</i>. б) Верно ли обратное утверждение?
Натуральные числа <i>m</i> и <i>n</i> таковы, что <i>m > n</i>, <i>m</i> не делится на <i>n</i> и имеет от деления на <i>n</i> тот же остаток, что и <i>m + n</i> от деления на <i>m – n</i>.
Найдите отношение <i>m</i> : <i>n</i>.
В клетках квадратной таблицы 4×4 расставлены знаки + и – , как показано на рисунке. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/60645/problem_60645_img_2.gif"></div>Разрешается одновременно менять знак во всех клетках, расположенных в одной строке, в одном столбце или на прямой, параллельной какой-нибудь диагонали (в частности, можно менять знак в любой угловой клетке). Докажите, что, сколько бы мы ни производили таких перемен знака, нам не удастся получить таблицу из одних плюсов.
Дан выпуклый 2<i>n</i>-угольник <i>A</i><sub>1</sub>...<i>A</i><sub>2<i>n</i></sub>. Внутри него взята точка <i>P</i>, не лежащая ни на одной из диагоналей.
Докажите, что точка <i>P</i> принадлежит чётному числу треугольников с вершинами в точках <i>A</i><sub>1</sub>,..., <i>A</i><sub>2<i>n</i></sub>.
К 17-значному числу прибавили число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке.
Докажите, что хотя бы одна цифра полученной суммы чётна.