Олимпиадные задачи из источника «глава 4. Арифметика остатков» - сложность 2 с решениями
Имеется n целых чисел. Доказать, что среди них найдется несколько, или быть может одно, сумма которых делится на n.
Существует ли степень двойки, из которой перестановкой цифр можно получить другую степень двойки?
Известно, что <i>ax</i><sup>4</sup> + <i>bx</i>³ + <i>cx</i>² + <i>dx + e</i>, где <i>a, b, c, d, e</i> – данные целые числа, при любом целом <i>x</i> делится на 7.
Доказать, что все числа <i>a, b, c, d, e</i> делятся на 7.
Имеются семь жетонов с цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Докажите, что ни одно семизначное число, составленное посредством этих жетонов, не делится на другое.
Доказать, что многочлен с целыми коэффициентами <i>a</i><sub>0</sub><i>x<sup>n</sup></i> + <i>a</i><sub>1</sub><i>x</i><sup><i>n</i>–1</sup> + ... + <i>a</i><sub><i>n</i>–1</sub><i>x</i> + <i>a<sub>n</sub></i>, принимающий при <i>x</i> = 0 и <i>x</i> = 1 нечётные значения, не имеет целых корней.
Докажите, что для любого нечётного натурального числа <i>a</i> существует такое натуральное число <i>b</i>, что 2<sup><i>b</i></sup> – 1 делится на <i>a</i>.
В китайской натурофилософии выделяются пять первоэлементов природы – дерево, огонь, металл, вода и земля, которым соответствуют пять цветов – синий (или зелёный), красный, белый, чёрный и жёлтый. В восточном календаре с древних времен используется 12-летний животный цикл так, что каждому из 12 годов в цикле соответствует одно из животных. Кроме того, каждый год проходит под покровительством одной из стихий и окрашивается в один из цветов:
годы, оканчивающиеся на 0 и 1 – годы металла (цвет белый);
годы, оканчивающиеся на 2 и 3 – это годы воды (цвет чёрный);
годы, оканчивающиеся на 4 и 5 – годы дерева (цвет синий);
годы, оканчивающиеся на 6 и 7 – годы огня (цвет красный);
годы, оканчивающиеся на 8 и 9 – годы земли (цвет жёлтый).
В 60-летнем календарном цикле каждое...
Найдите наименьшее натуральное число, половина которого – квадрат, треть – куб, а пятая часть – пятая степень.
Какие цифры надо поставить вместо звёздочек, чтобы число 454** делилось на 2, 7 и 9?
На столе лежат книги, которые надо упаковать. Если их связать в одинаковые пачки по 4, по 5 или по 6 книг, то каждый раз останется одна лишняя книга, а если связать по 7 книг в пачку, то лишних книг не останется. Какое наименьшее количество книг может быть на столе?
Найдите наименьшее натуральное число, дающее при делении на 2, 3, 5, 7 остатки 1, 2, 4, 6 соответственно.
Пользуясь результатом задачи <a href="https://mirolimp.ru/tasks/160823">160823</a>, укажите в явном виде число <i>x</i>, которое удовлетворяет системе из задачи <a href="https://mirolimp.ru/tasks/160825">160825</a>.
Натуральные числа <i>m</i><sub>1</sub>, ..., <i>m<sub>n</sub></i> попарно взаимно просты. Докажите, что число <i>x</i> = (<i>m</i><sub>2</sub>...<i>m<sub>n</sub></i>)<sup>φ(<i>m</i><sub>1</sub>)</sup> является решением системы
<i>x</i> ≡ 1 (mod <i>m</i><sub>1</sub>),
<i>x</i> ≡ 0 (mod <i>m</i><sub>2</sub>),
...
<i>x</i> ≡ 0 (mod <i>m<sub>n</sub></i>).
Натуральные числа <i>m</i><sub>1</sub>, ..., <i>m<sub>n</sub></i> попарно взаимно просты. Докажите, что сравнение <i>a</i> ≡ <i>b</i> (mod <i>m</i><sub>1</sub><i>m</i><sub>2</sub>...<i>m<sub>n</sub></i>) равносильно системе
<i>a ≡ b</i> (mod <i>m</i><sub>1</sub>),
<i>a ≡ b</i> (mod <i>m</i><sub>2</sub>),
...
<i>a ≡ b</i> (mod <i>m<sub>n</sub></i>).
При каких целых <i>n</i> число <i>n</i>² + 3<i>n</i> + 1 делится на 55?
С помощью признака делимости Паскаля (см. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/160815">160815</a>) установите признаки делимости на числа 3, 9, 6, 8, 12, 15, 11, 7, 27, 37.
Пусть запись числа <i>N</i> в десятичной системе счисления имеет вид <span style="text-decoration: overline;"><i>a<sub>n</sub>a</i><sub><i>n</i>–1</sub>...<i>a</i><sub>1</sub><i>a</i><sub>0</sub></span> , <i>r<sub>i</sub></i> – остаток от деления числа 10<sup><i>i</i></sup> на <i>m</i> (<i>i</i> = 0, ..., <i>n</i>).
Докажите, что число <i>N</i> делится на <i>m</i> тогда и только тогда, когда число <i>M = a<sub>n</sub>r<sub>n</sub> + a</i><sub><i>n</i>–1</sub><i>r</i><sub>&...
Докажите, что если числа <i>N</i> и 5<i>N</i> имеют одинаковую сумму цифр, то <i>N</i> делится на 9.
Найдите все такие трёхзначные числа, которые в 12 раз больше суммы своих цифр.
При каких <i>x</i> и <i>y</i> число <span style="text-decoration: overline;"><i>xxyy</i></span> является квадратом натурального числа?
Аналогичные указанному в задаче <a href="https://mirolimp.ru/tasks/160808">160808</a> признаки делимости существуют и для всех чисел вида 10<i>n</i> ± 1 и их делителей. Например, существует признак делимости на 21, из которого получается и признак делимости на 7. Как устроен признак делимости на 21?
Существует следующий способ проверить, делится ли данное число <i>N</i> на 19:
1) отбрасываем последнюю цифру у числа <i>N</i>;
2) прибавляем к полученному числу произведение отброшенной цифры на 2;
3) с полученным числом проделываем операции 1) и 2) до тех пор, пока не останется число, меньшее или равное 19.
4) если остается 19, то 19 делится на <i>N</i>, в противном случае <i>N</i> не делится на 19.
Докажите справедливость этого признака делимости.
Докажите, что в записи числа 2<sup>30</sup> есть по крайней мере две одинаковые цифры, не вычисляя его.
Коля Васин выписал пример на умножение, а затем заменил все цифры буквами: одинаковые цифры одинаковыми буквами, а разные – разными. Получилось равенство <span style="text-decoration: overline;"><i>ab</i></span>·<span style="text-decoration: overline;"><i>cd</i></span> = <span style="text-decoration: overline;"><i>effe</i></span>. Не ошибся ли Коля?
Докажите ошибочность следующих записей:
а) 4237·27925 = 118275855;
б) 42971064 : 8264 = 5201;
в) 1965² = 3761225;
г) <img width="66" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60804/problem_60804_img_2.gif"> = 23.