Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. Десятичные дроби» для 8 класса
параграф 2. Десятичные дроби
НазадДокажите, что не существует целых чисел, которые от перестановки начальной цифры в конец увеличивались бы в 5, 6 или 8 раз.
Найдите все шестизначные числа, которые увеличиваются в целое число раз при перенесении последней цифры в начало.
Найдите все шестизначные числа, которые уменьшаются втрое при перенесении последней цифры на первое место.
Число <i>N</i> = 142857 обладает и рядом других свойств. Например: 2·142857 = 285714, 3·142857 = 428571, ..., то есть при умножении на 1, 2, 3, ..., 6 цифры циклически переставляются; 14 + 28 + 57 = 99; <i>N</i><sup>2</sup> = 20408122449, 20408 + 122449 = 142857 = <i>N</i>.
Аналогичные операции можно проделывать и с другими периодами дробей. Что получается для чисел 1/17, 1/19? Объясните эти факты.
Периодом дроби <sup>1</sup>/<sub>7</sub> является число <i>N</i> = 142857. Оно обладает следующим свойством: сумма двух половин периода – число из одних девяток
142 + 857 = 999). Докажите в общем случае, что для простого <i>q</i> > 5 и натурального <i>p < q</i> период дроби <sup><i>p</i></sup>/<sub><i>q</i></sub> есть такое 2<i>n</i>-значное число <i>N</i> = <span style="text-decoration: overline;"><i>N</i><sub>1</sub><i>N</i><sub>2</sub></span>, что <i>N</i><sub>1</sub> + <i>N</i><sub>2</sub> = <img width="54" he...
Докажите, что если (<i>m</i>, 30) = 1, то число, состоящее из цифр периода дроби <sup>1</sup>/<sub><i>m</i></sub>, делится на 9.
<i>Репьюнитами</i> называются числа <img align="middle" src="/storage/problem-media/60882/problem_60882_img_2.gif"> Докажите, что если (<i>m</i>, 10) = 1, то частное <sup>9<i>E<sub>n</sub></i></sup>/<sub><i>m</i></sub>, записанное как <i>n</i>-значное число (возможно с нулями в начале), состоит из нескольких периодов десятичного представления дроби <sup>1</sup>/<sub><i>m</i></sub>. Кроме того, если еще выполнены условия (<i>m</i>, 3) = 1 и <i>E<sub>n</sub></i> – первый репьюнит, делящийся на <i>m</i>, то число <sup>9<i>E<sub>n</sub></i></sup>...
Пусть (<i>n</i>, 10) = 1, <i>m < n</i>, (<i>m, n</i>) = 1, и <i>t</i> – наименьшее число, при котором 10<sup><i>t</i></sup> – 1 делится на <i>n</i>.
Докажите, что <i>t</i> кратно длине периода дроби <sup><i>m</i></sup>/<sub><i>n</i></sub>.
Будет ли это длина периода?
Найдите возможные значения знаменателя обычной дроби вида <sup>1</sup>/<sub><i>m</i></sub>, которая представляется чисто периодической десятичной дробью с двумя цифрами в периоде.
Докажите, что если (<i>m</i>, 10) = 1, то у десятичного представления дроби <sup>1</sup>/<sub><i>m</i></sub> нет предпериода.
Как связаны между собой десятичные представления чисел <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/60878/problem_60878_img_2.gif"> и <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/60878/problem_60878_img_3.gif"> ?
Докажите, что если (<i>m</i>, 10) = 1, то существует репьюнит <i>E<sub>n</sub></i>, делящийся на <i>m</i>. Будет ли их бесконечно много?
Докажите, что равенство <img width="60" height="50" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60876/problem_60876_img_2.gif"> = <img width="76" height="28" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60876/problem_60876_img_3.gif"> равносильно тому, что десятичное представление дроби <sup>1</sup>/<sub><i>m</i></sub> имеет вид 0,(<i>a</i><sub>1</sub><i>a</i><sub>2</sub>...<i>a<sub>n</sub></i>).