Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. Десятичные дроби» - сложность 1-5 с решениями

Найдите последние три цифры периодов дробей ¹/₁₀₇, ¹/₁₃₁, ¹/₁₅₁. (Это можно сделать, не считая предыдущих цифр.)

Пусть число <i>m</i> имеет вид  <i>m</i> = 2^<i>a</i>5^<i>b</i><i>m</i>₁,  где  (10, <i>m</i>₁) = 1.  Положим  <i>k</i> = max {<i>a, b</i>}.

Докажите, что период дроби ¹/_<i>m</i> начинается с (<i>k</i>+1)-й позиции после запятой, и имеет такую же длину, как и период дроби ¹/_<i>m</i>₁.

Докажите, что не существует целых чисел, которые от перестановки начальной цифры в конец увеличивались бы в 5, 6 или 8 раз.

Найдите все шестизначные числа, которые увеличиваются в целое число раз при перенесении последней цифры в начало.

Найдите все шестизначные числа, которые уменьшаются втрое при перенесении последней цифры на первое место.

Обозначим через  <i>L</i>(<i>m</i>)  длину периода дроби   ¹/_<i>m</i>. Докажите, что если  (<i>m</i>₁, 10) = 1  и  (<i>m</i>₂, 10) = 1,  то справедливо равенство  <i>L</i>(<i>m</i>₁<i>m</i>₂) = [<i>L</i>(<i>m</i>₁), <i>L</i>(<i>m</i>₂)].

Чему равна длина периода дроби  ¹/_<i>m</i>₁ + ¹/_<i>m</i>₂?

Пусть  (<i>m, n</i>) = 1.  Докажите, что сумма длин периода и предпериода десятичного представления дроби  ^<i>m</i>/_<i>n</i>  не превосходит φ(<i>n</i>).

Обозначим через  <i>L</i>(<i>m</i>)  длину периода дроби ¹/_<i>m</i>. Докажите, что если  (<i>m</i>, 10) = 1,  то  <i>L</i>(<i>m</i>)  является делителем числа φ(<i>m</i>).

  Число  <i>N</i> = 142857  обладает и рядом других свойств. Например:  2·142857 = 285714,  3·142857 = 428571,  ..., то есть при умножении на 1, 2, 3, ..., 6 цифры циклически переставляются;  14 + 28 + 57 = 99;  <i>N</i>² = 20408122449,  20408 + 122449 = 142857 = <i>N</i>.

  Аналогичные операции можно проделывать и с другими периодами дробей. Что получается для чисел 1/17, 1/19? Объясните эти факты.

Периодом дроби ¹/₇ является число  <i>N</i> = 142857.  Оно обладает следующим свойством: сумма двух половин периода – число из одних девяток

142 + 857 = 999).  Докажите в общем случае, что для простого  <i>q</i> > 5  и натурального  <i>p < q</i>  период дроби ^<i>p</i>/_<i>q</i> есть такое 2<i>n</i>-значное число  <i>N</i> = <span style="text-decoration: overline;"><i>N</i>₁<i>N</i>₂</span>,  что  <i>N</i>₁ + <i>N</i>₂ = <img width="54" he...

Докажите, что если  (<i>m</i>, 30) = 1,  то число, состоящее из цифр периода дроби ¹/_<i>m</i>, делится на 9.

<i>Репьюнитами</i> называются числа   <img align="middle" src="/storage/problem-media/60882/problem_60882_img_2.gif">   Докажите, что если  (<i>m</i>, 10) = 1,  то частное  ^9<i>E_n</i>/_<i>m</i>,  записанное как <i>n</i>-значное число (возможно с нулями в начале), состоит из нескольких периодов десятичного представления дроби ¹/_<i>m</i>. Кроме того, если еще выполнены условия  (<i>m</i>, 3) = 1  и <i>E_n</i> – первый репьюнит, делящийся на <i>m</i>, то число  <sup>9<i>E_n</i></sup&gt...

Пусть  (<i>n</i>, 10) = 1,  <i>m < n</i>,  (<i>m, n</i>) = 1,  и <i>t</i> – наименьшее число, при котором  10^<i>t</i> – 1  делится на <i>n</i>.

Докажите, что <i>t</i> кратно длине периода дроби ^<i>m</i>/_<i>n</i>.

Будет ли это длина периода?

Найдите возможные значения знаменателя обычной дроби вида ¹/_<i>m</i>, которая представляется чисто периодической десятичной дробью с двумя цифрами в периоде.

Докажите, что если  (<i>m</i>, 10) = 1,  то у десятичного представления дроби ¹/_<i>m</i> нет предпериода.

Как связаны между собой десятичные представления чисел  <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/60878/problem_60878_img_2.gif">  и  <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/60878/problem_60878_img_3.gif"> ?

Докажите, что если  (<i>m</i>, 10) = 1,  то существует репьюнит <i>E_n</i>, делящийся на <i>m</i>. Будет ли их бесконечно много?

Докажите, что равенство   <img width="60" height="50" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60876/problem_60876_img_2.gif"> = <img width="76" height="28" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60876/problem_60876_img_3.gif">   равносильно тому, что десятичное представление дроби ¹/_<i>m</i> имеет вид  0,(<i>a</i>₁<i>a</i>₂...<i>a_n</i>).