Олимпиадные задачи из источника «глава 5. Числа, дроби, системы счисления» для 10-11 класса - сложность 4-5 с решениями

<b>13 монет.</b>Предположим теперь, что имеется 13 монет, из которых одна — фальшивая. Как за три взвешивания на двухчашечных весах без гирь найти фальшивую монету, если не требуется выяснять, легче она или тяжелее настоящей?

<b>12 монет.</b>Из двенадцати монет одиннадцать настоящих, а одна фальшивая (она отличается по весу от настоящей, но не известно, в какую сторону). Требуется за три взвешивания на двухчашечных весах без гирь найти фальшивую монету и выяснить, легче она или тяжелее настоящей.

<b>Пешечное противостояние.</b>На доске 3×<i>n</i>расставлены<i>n</i>черных и<i>n</i>белых пешек так, как показано на рисунке:<div align="CENTER">

<img width="160" height="49" align="BOTTOM" border="0" src="/storage/problem-media/60920/problem_60920_img_2.gif" alt="\begin{picture}(100,30) \multiput(0,0)(0,10){4}{\line(1,0){100}} \multiput(0,0... ...5,5)(10,0){10}{\circle{5}} \multiput(5,25)(10,0){10}{\circle*{5}} \end{picture}">

</div>Пешки ходят и бьют по шахматным правилам, к которым добавляется одно: бить обязательно. Тот, кто не может сделать ход: а) выигрывает; б) проигрывает. Какой из игроков выигрывает в этой игре в зависимости от значения<i&...

Имеется несколько кучек камней. Двое по очереди берут из них камни. За один ход разрешается взять из одной кучки от 1 до 5 камней. Определите выигрышную стратегию в этой игре, если тот, кто взял последний камень а) выигрывает; б) проыигрывает.

<b>Игра ``Шоколадка''.</b>Имеется шоколадка, состоящая из6×8 = 48 долек. Одна из долек отмечена:<div align="CENTER">

$x$

</div>Двое игроков по очереди разламывают ее по какой-нибудь прямой, делящей шоколадку на дольки, и съедают ту половину, которая не содержит отмеченной дольки. Проигрывает тот, кто не может сделать хода, то есть ему остается лишь одна отмеченная долька. а) Опишите выигрышную стратегию в этой игре. Кто из игроков выиграет при данных начальных условиях? б) При каких размерах шоколадки начинающий игрок выигрывает при любом расположении отмеченной дольки? в) При каких размерах шоколадки начинающий игрок проигрывает при любом расположении отмеченной дольки?

<b>Последовательность Морса.</b>Бесконечная последовательность из нулей и единиц<div align="CENTER"> 0110 1001 1001 0110 1001... </div>построена по следующему правилу. Сначала написан нуль. Затем делается бесконечное количество шагов. На каждом шаге к уже написанному куску последовательности приписывается новый кусок той же длины, получаемый из него заменой всех нулей единицами, а единиц — нулями. а) Какая цифра стоит на 2001 месте? б) Будет ли эта последовательность, начиная с некоторого места, периодической? в) Докажите, что данная последовательность переходит в себя при замене каждого нуля на комбинацию 01, а каждой единицы — на комбинацию 10. г) Докажите, что ни одно конечно слово из нулей и единиц не встречается в последовательности Морса три раза под...

Как и раньше загадывается число от 1 до 200, а загадавший отвечает на вопросы да'' или нет''. При этом ровно один раз (за все ответы) он имеет право соврать. Сколько теперь понадобится вопросов, чтобы отгадать задуманное число?

Определим последовательности чисел (<i>x_n</i>) и (<i>d_n</i>) условиями  <i>x</i>₁ = 1,  <i>x</i>_<i>n</i>+1 = [ <img width="103" height="39" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60875/problem_60875_img_2.gif"> ],  <i>d_n</i> = <i>x</i>_2<i>n</i>+1 – 2<i>x</i>_{2<i>n</i>–1}  (<i>n</i> ≥ 1).

Докажите, что число <img width="25" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-me...

Дан лист клетчатой бумаги. Докажите, что при  <i>n</i> ≠ 4  не существует правильного <i>n</i>-угольника с вершинами в узлах решетки.

Докажите, что число$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$+$\sqrt{5}$+$\sqrt{7}$+$\sqrt{11}$+$\sqrt{13}$+$\sqrt{17}$иррационально.