Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. Алгоритм Евклида для многочленов и теорема Безу.» - сложность 3-5 с решениями
параграф 2. Алгоритм Евклида для многочленов и теорема Безу.
НазадНайти все многочлены <i>P</i>(<i>x</i>), для которых справедливо тождество: <i>xP</i>(<i>x</i> – 1) ≡ (<i>x</i> – 26)<i>P</i>(<i>x</i>).
Докажите, что любой многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) степени <i>n</i> можно единственным образом разложить по степеням <i>x – c</i>: <div align="CENTER"><i>P</i>(<i>x</i>) = <img width="27" height="60" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61002/problem_61002_img_2.gif"> <i>c<sub>k</sub></i>(<i>x – c</i>)<sup><i>k</i></sup>, </div>причем коэффициенты <i>c<sub>k</sub></i> могут быть найдены по формуле <div align="CENTER"><i>c<sub>k</sub></i> = <img width="8" height="57" align="MIDD...
Решите систему<div align="CENTER"> $\displaystyle \left{\vphantom{ \begin{array}l x^6-x^5+x^4-x^3+5x^2=5,\ x^6-2x^5+3x^4-4x^3+2x=0. \end{array} }\right.$$\displaystyle \begin{array}l x^6-x^5+x^4-x^3+5x^2=5,\ x^6-2x^5+3x^4-4x^3+2x=0. \end{array}$ </div>
Последовательность <i>a</i><sub>0</sub>, <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ... задана условиями <i>a</i><sub>0</sub> = 0, <i>a</i><sub><i>n</i>+1</sub> = <i>P</i>(<i>a<sub>n</sub></i>) (<i>n</i> ≥ 0), где <i>P</i>(<i>x</i>) – многочлен с целыми коэффициентами, <i>P</i>(<i>x</i>) > 0 при <i>x</i> ≥ 0.
Докажите, что для любых натуральных <i>m</i> и <i>k</i> (<i>a<sub>m</sub>, a<sub>k</sub></i>) = <i>a</i><sub>(<i>m, k</i>)</sub>.
Найдите (<i>x<sup>n</sup></i> – 1, <i>x<sup>m</sup></i> – 1).
Найдите наибольший общий делитель многочленов <i>P</i>(<i>x</i>), <i>Q</i>(<i>x</i>) и представьте его в виде <i>P</i>(<i>x</i>)<i>U</i>(<i>x</i>) + <i>Q</i>(<i>x</i>)<i>V</i>(<i>x</i>):
а) <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>x</i><sup>4</sup> + <i>x</i>³ – 3<i>x</i>² – 4<i>x</i> – 1, <i>Q</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>³ + <i>x</i>² – <i>x</i> – 1;
б) <i>P</i>(<i>x</i>) = 3<i>x</i><sup>4</sup> – 5<i>x</i>³ + 4<i>x</i>² – 2<i>x</i&g...
Пусть (<i>P</i>(<i>x</i>), <i>Q</i>(<i>x</i>)) = <i>D</i>(<i>x</i>).
Докажите, что существуют такие многочлены <i>U</i>(<i>x</i>) и <i>V</i>(<i>x</i>), что deg<i>U</i> (<i>x</i>) < deg <i>Q</i>(<i>x</i>), deg <i>V</i>(<i>x</i>) < deg <i>P</i>(<i>x</i>) и <i>P</i>(<i>x</i>)<i>U</i>(<i>x</i>) + <i>Q</i>(<i>x</i>)<i>V</i>(<i>x</i>) = <i>D</i>(<i>x</i>).
Пусть <i>P</i>(<i>x</i>) и <i>Q</i>(<i>x</i>) – многочлены, причём <i>Q</i>(<i>x</i>) не равен нулю тождественно и <i>P</i>(<i>x</i>) не делится на <i>Q</i>(<i>x</i>). Докажите, что при некотором <i>s</i> ≥ 1 существуют такие многочлены <i>A</i><sub>0</sub>(<i>x</i>), <i>A</i><sub>1</sub>(<i>x</i>), ..., <i>A<sub>s</sub></i>(<i>x</i>) и <i>R</i><sub>1</sub>(<i>x</i>), ..., <i>R<sub>s</sub></i>(<i>x</i>), что deg<i>Q</i>(<i>x</i>) > deg<i>R</...
Докажите, что количество положительных корней многочлена <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>a<sub>n</sub>x<sup>n</sup> + ... + a</i><sub>1</sub><i>x + a</i><sub>0</sub> не превосходит числа перемен знака в последовательности <i>a<sub>n</sub>, ..., a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>0</sub>.
Найдите остаток <i>R</i>(<i>x</i>) от деления многочлена <i>x<sup>n</sup> + x</i> + 2 на <i>x</i>² – 1.
Кубическое и квадратное уравнения с рациональными коэффициентами имеют общее решение.
Докажите, что у кубического уравнения есть рациональный корень.
Пусть <i>m</i><sub>1</sub>(<i>x</i>), ..., <i>m<sub>n</sub></i>(<i>x</i>) – попарно взаимно простые многочлены, <i>a</i><sub>1</sub>(<i>x</i>), ..., <i>a<sub>n</sub></i>(<i>x</i>) – произвольные многочлены.
Докажите, что существует ровно один такой многочлен <i>p</i>(<i>x</i>), что
<i>p</i>(<i>x</i>) ≡ <i>a</i><sub>1</sub>(<i>x</i>) (mod <i>m</i><sub>1</sub>(<i>x</i>)),
...
<i>p</i>(<i>x</i>) ≡ <i>a<sub>n</sub></i>(<i>x</i>) (mod <i>m<sub...
При каких <i>n</i> многочлен 1 + <i>x</i>² + <i>x</i><sup>4</sup> + ... + <i>x</i><sup>2<i>n</i>–2</sup> делится на 1 + <i>x + x</i><sup>2</sup> + ... + <i>x</i><sup><i>n</i>–1</sup>?
Найдите необходимое и достаточное условие для того, чтобы выражение <i>x</i>³ + <i>y</i>³ + <i>z</i>³ + <i>kxyz</i> делилось на <i>x + y + z</i>.
Многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) дает остаток 2 при делении на <i>x</i> – 1, и остаток 1 при делении на <i>x</i> – 2.
Какой остаток дает <i>P</i>(<i>x</i>) при делении на многочлен (<i>x</i> – 1)(<i>x</i> – 2)?
Можно ли из какой-то точки плоскости провести к графику многочлена <i>n</i>-й степени больше чем <i>n</i> касательных?
Докажите, что многочлен степени <i>n</i> имеет не более чем <i>n</i> корней.