Олимпиадные задачи из источника «глава 8. Алгебра + геометрия» для 11 класса - сложность 1-2 с решениями
глава 8. Алгебра + геометрия
Назад<b>Теорема синусов и первая теорема косинусов для трехгранного угла.</b>Пусть имеется трехгранный угол с плоскими углами$\alpha$,$\beta$,$\gamma$и противолежащими им двугранными углами<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>. Для него справедлива теорема синусов (<a href="https://mirolimp.ru/tasks/161247">8.7</a>) и две теоремы косинусов (<a href="https://mirolimp.ru/tasks/161247">8.6</a>), (<a href="https://mirolimp.ru/tasks/161248">8.8</a>) (смотрите ниже). После того, как одна из этих теорем доказана, другие могут быть получены путем алгебраических преобразований. Отвлечемся от геометрической природы задачи и предположим, что просто даны равенства<div align="CENTER"> <!...
Докажите, что если сумма<div align="CENTER"> <i>a</i><sub>1</sub>cos($\displaystyle \alpha_{1}^{}$ + <i>x</i>) + <i>a</i><sub>2</sub>cos($\displaystyle \alpha_{2}^{}$ + <i>x</i>) +...+ <i>a</i><sub>n</sub>cos($\displaystyle \alpha_{n}^{}$ + <i>x</i>) </div>при<i>x</i>= 0 и<i>x</i>=<i>x</i><sub>1</sub>$\ne$<i>k</i>$\pi$(<i>k</i> — целое) обращается в ноль, то она равна нулю при всех<i>x</i>.
Докажите, что функцияcos$\sqrt{x}$не является периодической.
Докажите, что точка <i>m</i> = <sup>1</sup>/<sub>3</sub> (<i>a</i><sub>1</sub> + <i>a</i><sub>2</sub> + <i>a</i><sub>3</sub>) является точкой пересечения медиан треугольника <i>a</i><sub>1</sub><i>a</i><sub>2</sub><i>a</i><sub>3</sub>.
Точки <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub> и <i>a</i><sub>3</sub> расположены на единичной окружности <i>z<span style="text-decoration: overline;">z</span></i> = 1.
Докажите, что точка <i>h = a</i><sub>1</sub> + <i>a</i><sub>2</sub> + <i>a</i><sub>3</sub> является ортоцентром треугольника с вершинами в точках <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub> и <i>a</i><sub>3</sub>.
На плоскости даны три окружности <i>S</i><sub>1</sub>, <i>S</i><sub>2</sub> и <i>S</i><sub>3</sub>. Докажите, что если две радикальных оси этих окружностей пересекаются в точке <i>Q</i>, то третья радикальная ось также проходит через эту точку.
Точка <i>Q</i> называется <i>радикальным центром</i> окружностей <i>S</i><sub>1</sub>, <i>S</i><sub>2</sub> и <i>S</i><sub>3</sub>.
Докажите, что геометрическое место точек <i>M</i>, cтепень которых относительно окружностей <i>S</i><sub>1</sub> и <i>S</i><sub>2</sub> одинакова, является прямой.
Такая прямая называется <i>радикальной осью</i> окружностей <i>S</i><sub>1</sub> и <i>S</i><sub>2</sub>.
Пусть уравнение некоторой прямой или окружности имеет вид <i>Az<span style="text-decoration: overline;">z</span> + Bz – <span style="text-decoration: overline;">B</span> <span style="text-decoration: overline;">z</span> + C</i> = 0. Пусть образ этой линии при отображении <img width="100" align="absMIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61189/problem_61189_img_2.gif"> задается уравнением <i>A'z<span style="text-decoration: overline;">z</span> + B'z – <span style="text-decoration: overline;">B'</span> <span style="text-decoration: overline;">z</span> + C'</i>...
Представьте в виде композиции дробно-линейного отображения <i>w</i> = <img width="37" height="35" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61187/problem_61187_img_2.gif"> и комплексного сопряжения <i>w = <span style="text-decoration: overline;">z</span></i> инверсию относительно окружности
а) с центром <i>i</i> и радиусом <i>R</i> = 1;
б) с центром <i>Re</i><sup><i>i</i>φ</sup> и радиусом <i>R</i>;
в) с центром <i>z</i><sub>0</sub> и радиусом <i>R</i>.
Докажите, что отображение <i>w</i> = <img width="14" height="34" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61186/problem_61186_img_2.gif"> является инверсией относительно единичной окружности.
Докажите, что уравнение окружности (или прямой) на комплексной плоскости всегда может быть записано в виде <i>Az<span style="text-decoration: overline;">z</span> + Bz – <span style="text-decoration: overline;">B</span> <span style="text-decoration: overline;">z</span> + C</i> = 0, где <i>A</i> и <i>C</i> – чисто мнимые числа.
Как изменяется двойное отношение <i>W</i>(<i>z</i><sub>1</sub>, <i>z</i><sub>2</sub>, <i>z</i><sub>3</sub>, <i>z</i><sub>4</sub>) при действии отображения <img width="100" align="absMIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61182/problem_61182_img_2.gif">?
<i>Двойным отношением</i> четырёх комплесных чисел называется число <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61181/problem_61181_img_2.gif"> (см. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161180">161180</a>). Пусть <i>w</i><sub>1</sub>, <i>w</i><sub>2</sub>, <i>w</i><sub>3</sub>, <i>w</i><sub>4</sub> – четыре точки плоскости, в которые дробно-линейное отображение <img width="100" align="absMIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61181/problem_61181_img_3.gif"> переводит данные четыре точки <i>z</i><sub>1</sub>, <i>z</i><sub>2&l...
Докажите, что условием того, что четыре точки <i>z</i><sub>0</sub>, <i>z</i><sub>1</sub>, <i>z</i><sub>2</sub>, <i>z</i><sub>3</sub> лежат на одной окружности (или прямой) является вещественность числа <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61180/problem_61180_img_2.gif">
Докажите, что уравнение прямой на комплексной плоскости всегда может быть записано в виде <i>Bz</i> – <span style="text-decoration: overline;"><i>B</i></span> <span style="text-decoration: overline;"><i>z</i></span> + <i>C</i> = 0, где <i>C</i> – чисто мнимое число.
Докажите, что прямая, проходящая через точки <i>z</i><sub>1</sub> и <i>z</i><sub>2</sub> – это геометрическое место точек <i>z</i>, для которых <img width="57" height="47" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61178/problem_61178_img_2.gif"> = <img width="57" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61178/problem_61178_img_3.gif">.
z<sub>2</sub>, <i>z</i><sub>1</sub>, <i>z</i><sub>0</sub> лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61177/problem_61177_img_2.gif"> – вещественное число, или <img width="57" height="47" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61177/problem_61177_img_3.gif"> = <img width="57" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61177/problem_61177_img_4.gif">.
Докажите, что угол между прямыми, пересекающимися в точке <i>z</i><sub>0</sub> и проходящими через точки <i>z</i><sub>1</sub> и <i>z</i><sub>2</sub>, равен аргументу отношения <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61176/problem_61176_img_2.gif">
Пусть <i>z</i><sub>1</sub> и <i>z</i><sub>2</sub> – фиксированные точки комплексной плоскости. Дайте геометрическое описание множеств всех точек <i>z</i>, удовлетворяющих соотношениям:
а) arg <img width="50" height="47" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61175/problem_61175_img_2.gif"> = 0; б) arg <img width="50" height="47" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61175/problem_61175_img_3.gif"> = 0.
а) Найдите все корни <i>x<sub>k</sub></i> уравнения cos <i>x</i> + cos 2<i>x</i> + cos 3<i>x</i> + ½ = 0.
б) Какому алгебраическому уравнению удовлетворяют числа 2 cos <i>x<sub>k</sub></i>?
Докажите равенство:<div align="CENTER"> <i>ctg</i> 30<sup><tt>o</tt></sup> + <i>ctg</i> 75<sup><tt>o</tt></sup> = 2. </div>
Докажите равенство:<div align="CENTER"> <i>arctg</i> 1 + <i>arctg</i> $\displaystyle {\textstyle\dfrac{1}{2}}$ + <i>arctg</i> $\displaystyle {\textstyle\dfrac{1}{3}}$ = $\displaystyle {\dfrac{\pi}{2}}$. </div>