Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. Тригонометрические замены» для 5-10 класса - сложность 2 с решениями

Решите систему: $\left{\vphantom{ \begin{array}{rcl} \hbox{\rm tg\ }x\cdot\hbox{\rm tg\ }z&=... ...box{\rm tg\ }y\cdot\hbox{\rm tg\ }z&=&6,\ x+y+z&=&\pi. \end{array} }\right.$$\begin{array}{rcl} \hbox{\rm tg\ }x\cdot\hbox{\rm tg\ }z&=&3,\ \hbox{\rm tg\ }y\cdot\hbox{\rm tg\ }z&=&6,\ x+y+z&=&\pi. \end{array}$

Пусть  |<i>x</i>₁| ≤ 1  и   |<i>x</i>₂| ≤ 1.  Докажите неравенство   <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/61288/problem_61288_img_2.gif">

Среди всех решений системы

    <i>x</i>² + <i>y</i>² = 4,

    <i>z</i>² + <i>t</i>² = 9,

    <i>xt + yz</i> = 6

выберите те, для которых величина  <i>x + z</i>  принимает наибольшее значение.

Решите систему

    <i>x</i>² + <i>y</i>² = 1,

    4<i>xy</i>(2<i>y</i>² – 1) = 1.