Олимпиадные задачи из источника «глава 13. Графы-2»

В стране Ориентация на всех дорогах введено одностороннее движение, причём из каждого города в любой другой можно добраться, проехав не более чем по двум дорогам. Одну дорогу закрыли на ремонт так, что из каждого города по-прежнему можно добраться до любого другого. Докажите, что для каждых двух городов это можно сделать, проехав не более чем по трём дорогам.

В некотором государстве 101 город. а) Каждый город соединен с каждым из остальных дорогой с односторонним движением, причём в каждый город входит 50 дорог и из каждого города выходит 50 дорог. Докажите, что из каждого города можно доехать в любой другой, проехав не более чем по двум дорогам. б) Некоторые города соединены дорогами с односторонним движением, причём в каждый город входит 40 дорог и из каждого города выходит 40 дорог. Докажите, что из каждого города можно добраться до любого другого, проехав не более чем по трём дорогам.

Какие-то две команды набрали в круговом волейбольном турнире одинаковое число очков.

Докажите, что найдутся такие команды <i>А, В</i> и <i>С</i>, что <i>А</i> выиграла у <i>В</i>, <i>В</i> выиграла у <i>С</i>, а <i>С</i> выиграла у <i>А</i>.

20 команд сыграли круговой турнир по волейболу.

Докажите, что команды можно занумеровать числами от 1 до 20 так, что 1-я команда выиграла у 2-й, 2-я – у 3-й, ..., 19-я – у 20-й.

В одном государстве 100 городов и каждый соединён с каждым дорогой с односторонним движением. Докажите, что можно поменять направление движения не более чем на одной дороге так, чтобы от каждого города можно было доехать до любого другого.

Несколько команд сыграли между собой круговой турнир по волейболу. Будем говорить, что команда<i>А</i>сильнее команды<i>B</i>, если либо<i>А</i>выиграла у<i>B</i>, либо существует такая команда<i>C</i>, что<i>А</i>выиграла у<i>C</i>, а<i>C</i>– у<i>B</i>.   а) Докажите, что есть команда, которая сильнее всех.   б) Докажите, что команда, выигравшая турнир, сильнее всех.

В некоторой стране каждый город соединён с каждым дорогой с односторонним движением.

Докажите, что найдётся город, из которого можно добраться в любой другой.

На ребрах связного графа расставлены стрелки так, что для каждой вершины числа входящих и выходящих рёбер равны.

Докажите, что двигаясь по стрелкам, можно добраться от каждой вершины до любой другой.

В связном графе степени всех вершин чётны. Докажите, что на рёбрах этого графа можно расставить стрелки так, чтобы выполнялись следующие условия:

  а) двигаясь по стрелкам, можно добраться от каждой вершины до любой другой;

  б) для каждой вершины числа входящих и выходящих рёбер равны.

Докажите, что на рёбрах связного графа можно так расставить стрелки, чтобы из некоторой вершины можно было добраться по стрелкам до любой другой.

В некотором государстве каждый город соединён с каждым дорогой. Сумасшедший король хочет ввести на дорогах одностороннее движение так, чтобы выехав из любого города, в него нельзя было вернуться. Можно ли так сделать?

В некоторой стране есть столица и еще 100 городов. Некоторые города (в том числе и столица) соединены дорогами с односторонним движением. Из каждого нестоличного города выходит 20 дорог, и в каждый такой город входит 21 дорога. Докажите, что в столицу нельзя проехать ни из одного города.

Дима, приехав из Врунляндии, рассказал, что там есть несколько озер, соединённых между собой реками. Из каждого озера вытекают три реки, и в каждое озеро впадают четыре реки. Докажите, что он ошибается.

Каждое из рёбер полного графа с 18 вершинами покрашено в один из двух цветов.

Докажите, что есть четыре вершины, все рёбра между которыми – одного цвета.

Каждое из рёбер полного графа с 9 вершинами покрашено в синий или красный цвет.

Докажите, что либо есть четыре вершины, все рёбра между которыми – синие, либо есть три вершины, все рёбра между которыми – красные.

Каждое из рёбер полного графа с 17 вершинами покрашено в один из трёх цветов. Докажите, что есть три вершины, все рёбра между которыми – одного цвета.

Каждое из рёбер полного графа с 6 вершинами покрашено в один из двух цветов.

Докажите, что есть три вершины, все рёбра между которыми – одного цвета.

В некоторой стране каждые два города соединены либо авиалинией, либо железной дорогой. Докажите, что

  а) можно выбрать вид транспорта так, чтобы от каждого города можно было добраться до любого другого, пользуясь только этим видом транспорта;

 б) из некоторого города, выбрав один из видов транспорта, можно добраться до любого другого города не более чем с одной пересадкой (пользоваться можно только выбранным видом транспорта);

  в) каждый город обладает свойством из пункта б);

  г) можно выбрать вид транспорта так, чтобы пользуясь только им, можно было добраться из каждого города до любого другого не более чем с двумя пересадками.

Дима нарисовал на доске семь графов, каждый из которых является деревом с шестью вершинами. Докажите, что среди них есть два изоморфных.

<i>Расстоянием</i> между двумя произвольными вершинами дерева будем называть длину простого пути, соединяющего их. <i>Удалённостью</i> вершины дерева назовём сумму расстояний от неё до всех остальных вершин. Докажите, что в дереве, у которого есть две вершины с удалённостями, отличающимися на 1, нечётное число вершин.

Каждый из 102 учеников одной школы знаком не менее чем с 68 другими.

Докажите, что среди них найдутся четверо, имеющие одинаковое число знакомых.

На конференции присутствуют 50 учёных, каждый из которых знаком по крайней мере с 25 участниками конференции.

Докажите, что найдутся четверо из них, которых можно усадить за круглый стол так, чтобы каждый сидел рядом со знакомыми ему людьми.

Докажите, что связный граф с 2<i>n</i> нечётными вершинами можно нарисовать, оторвав карандаш от бумаги ровно  <i>n</i> –1  раз и не проводя никакое ребро дважды.

На плоскости дано 100 окружностей, составляющих связную (то есть не распадающуюся на части) фигуру.

Докажите, что эту фигуру можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя дважды одну и ту же линию.

Можно ли составить решётку, изображённую на рисунке

  а) из пяти ломаных длины 8?

  б) из восьми ломаных длины 5?

(Длина стороны клетки равна 1.) <div align="center"><img width="113" height="113" align="BOTTOM" border="0" src="/storage/problem-media/30807/problem_30807_img_2.gif"> </div>