Олимпиадные задачи из источника «глава 16. Неравенства» - сложность 3-4 с решениями

Докажите, что если  <i>x + y + z ≥ xyz</i>,  то  <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² ≥ <i>xyz</i>.

<i>a, b, c, d</i> – положительные числа. Докажите, что по крайней мере одно из неравенств

  1)  <i>a + b < c + d</i>;

  2)  (<i>a + b</i>)<i>cd < ab</i>(<i>c + d</i>);

  3)  (<i>a + b</i>)(<i>c + d</i>) < <i>ab + cd</i>

неверно.

Вокруг экватора натянули верёвку. Затем её удлинили на 1 см и опять натянули, приподняв в одном месте.

Сможет ли человек пройти в образовавшийся зазор?

Сумма положительных чисел <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, ..., <i>x_n</i> равна ½. Докажите, что   <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/30908/problem_30908_img_2.gif">

<i>n</i> – натуральное число. Докажите, что  <i>nⁿ</i> > (<i>n</i> + 1)^<i>n</i>–1.

Докажите, что   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/30893/problem_30893_img_2.gif">.

Решите уравнение  <i>a</i>² + <i>b</i>² + <i>c</i>² + <i>d</i>² – <i>ab – bc – cd – d</i> + ²/₅ = 0.

Докажите неравенство Коши для пяти чисел, то есть докажите, что при   <i>a, b, c , d e</i> ≥ 0 имеет место неравенство <div align="CENTER" class="mathdisplay"><img width="206" height="53" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/30881/problem_30881_img_2.gif"> </div>

Рассмотрим число   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/30859/problem_30859_img_2.gif">   Докажите, что оно а) меньше ¹/₁₀;   б) меньше ¹/₁₂;   в) больше ¹/₁₅.

Найдите наибольшее из чисел  5¹⁰⁰, 6⁹¹, 7⁹⁰, 8⁸⁵.

Докажите, что  4⁷⁹ < 2¹⁰⁰ + 3¹⁰⁰ < 4⁸⁰.