Олимпиадные задачи из источника «Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В., Ленинградские математические кружки» для 3-6 класса - сложность 2-5 с решениями

В узлах клетчатой плоскости отмечено пять точек. Доказать, что есть две из них, середина отрезка между которыми тоже попадает в узел.

В таблице 25×25 расставлены целые числа так, что в каждом столбце и в каждой строчке встречаются все числа от 1 до 25. При этом таблица симметрична относительно главной диагонали. Доказать, что на главной диагонали все числа от 1 до 25 встречаются по одному разу.

Докажите, что если  <i>x + y + z ≥ xyz</i>,  то  <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² ≥ <i>xyz</i>.

Докажите, что три неравенства  <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/30927/problem_30927_img_2.gif">  не могут быть все верны одновременно, если числа<i>a</i>₁,<i>a</i>₂,<i>a</i>₃,<i>b</i>₁,<i>b</i>₂,<i>b</i>₃положительны.

<i>a, b, c, d</i> – положительные числа. Докажите, что по крайней мере одно из неравенств

  1)  <i>a + b < c + d</i>;

  2)  (<i>a + b</i>)<i>cd < ab</i>(<i>c + d</i>);

  3)  (<i>a + b</i>)(<i>c + d</i>) < <i>ab + cd</i>

неверно.

<i>x, y</i> > 0.  Через <i>S</i> обозначим наименьшее из чисел <i>x</i>, ¹/_<i>y</i>,  <i>y</i> + ¹/_<i>x</i>.  Какое максимальное значение может принимать величина <i>S</i>?

Докажите, что для любого <i>x</i> выполнено неравенство  <i>x</i>⁴ – <i>x</i>³ + 3<i>x</i>² – 2<i>x</i> + 2 ≥ 0.

Докажите, что   <img width="348" height="56" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/30922/problem_30922_img_2.gif">

<i>x, y, z</i>   положительные числа. Докажите неравенство   <img width="202" height="45" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/30921/problem_30921_img_2.gif">

<i>a, b, c</i> – натуральные числа и &nbsp¹/_<i>a</i> + 1/_<i>b</i> + 1/_<i>c</i> < 1.  Докажите, что &nbsp¹/_<i>a</i> + 1/_<i>b</i> + 1/_<i>c</i> ≤ ⁴¹/₄₂.

<i>x, y</i> – числа из отрезка  [0, 1].  Докажите неравенство   <img width="140" height="45" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/30919/problem_30919_img_2.gif">

<i>a, b, c</i> > 0  и  <i>abc</i> = 1.  Известно, что   <i>a + b + c</i> > ¹/_<i>a</i> + ¹/_<i>b</i> + ¹/_<i>c</i>.  Докажите, что ровно одно из чисел <i>a, b, c</i> больше 1.

Существует ли набор чисел, сумма которых равна 1, а сумма их квадратов меньше 0,01?

<i>a, b, c, d</i> ≥ 0,  причём  <i>c + d ≤ a,  c + d ≤ b</i>.  Докажите, что  <i>ad + bc ≤ ab</i>.

1 > <i>x > y</i> > 0.  Докажите, что   <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/30915/problem_30915_img_2.gif">

<i>n</i> – натуральное число. Докажите, что   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/30914/problem_30914_img_2.gif">

Докажите, что  100! < 50¹⁰⁰.

Представьте себе, что Землю "раскатали в колбаску" так, чтобы она достала до Солнца.

Какой толщины будет эта "колбаска"? Постарайтесь ошибиться не более чем в 10 раз.

Вокруг экватора натянули верёвку. Затем её удлинили на 1 см и опять натянули, приподняв в одном месте.

Сможет ли человек пройти в образовавшийся зазор?

Сумма положительных чисел <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, ..., <i>x_n</i> равна ½. Докажите, что   <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/30908/problem_30908_img_2.gif">

Произведение положительных чисел <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a_n</i> равно 1. Докажите, что  (1 + <i>a</i>₁)(1 + <i>a</i>₂)...(1 + <i>a_n</i>) ≥ 2^<i>n</i>.

Какое из чисел   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/30905/problem_30905_img_2.gif">   (10 двоек) или   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/30905/problem_30905_img_3.gif">   (9 троек) больше? А если троек не 9, а 8?

Докажите, что для любого натурального <i>n</i> выполняется неравенство  3<i>ⁿ > n</i>·2<i>ⁿ</i>.

<i>x, y</i> ≥ 0.  Докажите, что   <img width="203" height="34" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/30894/problem_30894_img_2.gif">.

Докажите, что   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/30893/problem_30893_img_2.gif">.