Олимпиадные задачи из источника «глава 14. Разные задачи» для 7-9 класса - сложность 1-3 с решениями

Имеются две одинаковых шестеренки по 14 зубьев на общей оси. Их совместили и выбили четыре пары зубьев.

Доказать, что шестеренки можно повернуть так, что они образуют полноценную шестеренку (без дырок).

Несколько человек построились в два ряда. Каждый во втором ряду выше стоящего перед ним. Доказать, что если каждый ряд построить по росту, то это свойство сохранится.

Несколько человек стоят прямоугольником. В каждой шеренге выбрали самого нижнего, в каждом ряду самого высокого. Кто выше: самый низкий из высоких или самый высокий из низких?

В поселке 100 домов. Какое наибольшее число замкнутых не пересекающихся заборов можно построить, чтобы каждый забор огораживал хотя бы один дом и никакие два забора не огораживали бы одну и ту же совокупность домов?

12 шахматистов сыграли турнир в один круг. Потом каждый из них написал 12 списков. В первом только он, в (<i>k</i>+1)-м – те, кто были в <i>k</i>-м и те, у кого они выиграли. Оказалось, что у каждого шахматиста 12-й список отличается от 11-го. Сколько было ничьих?

Имеется бесконечная арифметическая прогрессия с натуральными членами. Доказать, что найдётся член, в котором есть 100 девяток подряд.

Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение   [^<i>x</i>/₁₀] = [^<i>x</i>/₁₁] + 1?

В прямоугольнике 3×<i>n</i> стоят фишки трёх цветов, по <i>n</i> штук каждого цвета.

Доказать, что можно переставить фишки в каждой строке так, чтобы в каждом столбце были фишки всех цветов.

В ряд выписаны числа от 1 до 9999. Как вычеркнуть из этой записи 100 цифр так, чтобы оставшееся число было a) максимальным b) минимальным?

В центре куба<img width="69" height="29" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/31367/problem_31367_img_2.gif">сидит жук. Доказать, что он, переползая через ребра, не сможет обойти все кубики<img width="69" height="29" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/31367/problem_31367_img_3.gif">по одному разу.

Матч между двумя футбольными командами закончился со счетом 8:5. Доказать, что был момент, когда первая команда забила столько же мячей, сколько второй оставалось забить.

Когда встречаются два жителя Цветочного города, один отдает другому монету в 10 копеек, а тот ему - 2 монеты по 5 копеек. Могло ли случиться так, что за день каждый из 1990 жителей города отдал ровно 10 монет?

12 команд сыграли турнир по волейболу в один круг. Две команды одержали ровно по 7 побед.

Доказать, что найдутся такие команды <i>А, В, С</i>, что <i>А</i> выиграла у <i>В, В</i> выиграла у <i>С</i>, а <i>С</i> – у <i>А</i>.

а) В группе из четырёх человек, говорящих на разных языках, любые трое могут общаться (возможно, один переводит двум другим).

Доказать, что их можно разбить на пары, в каждой из которых имеется общий язык.

б) То же для группы из 100 человек.

в) То же для группы из 102 человек.

Некто А загадал число от 1 до 15. Некто В задает вопросы на которые можно отвечать да" или нет". Может ли В отгадать число, задав a) 4 вопроса; б) 3 вопроса.

Квадрат<img width="40" height="29" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/31361/problem_31361_img_2.gif">раскрашен в два цвета. Можно любой прямоугольник<img width="40" height="29" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/31361/problem_31361_img_3.gif">перекрашивать в преобладающий в нем цвет. Доказать, что такими операциями можно сделать весь квадрат одноцветным.

30 команд сыграли турнир по олимпийской системе. Сколько всего было сыграно матчей?

Расставьте в ряд числа от 1 до 100 так, чтобы любые два соседних отличались по крайней мере на 50.

Как разрезать на единичные квадраты квадрат a)<img width="40" height="29" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/31357/problem_31357_img_2.gif">b)<img width="40" height="29" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/31357/problem_31357_img_3.gif">за наименьшее число разрезов. (Части при разрезании можно накладывать друг на друга).

Как с помощью наименьшего числа прямолинейных разрезов разрезать квадрат<img width="40" height="29" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/31356/problem_31356_img_2.gif">на единичные квадраты a) если части нельзя накладывать (т.екаждый раз можно разрезать только одну часть)

b) если части можно накладывать.

c) если перед разрезами квадрат можно сложить? (Ответ: достаточно одного разреза)

В 15-этажном доме имеется лифт с двумя кнопками: "+7" и "–9" (см. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/131354">131354</a>). Можно ли проехать с 3-го этажа на 12-й?

Лифт в 100-этажном доме имеет 2 кнопки: "+7" и "–9" (первая поднимает лифт на 7 этажей, вторая опускает на 9).Можно ли проехать:

  a) с 1-го на 2-й;

  б) со 2-го на 1-й;

  в) с любого на любой этаж?

В автобусе едут 20 пассажиров, и у каждого много монет по 10, 15 и 20 копеек. Каждый должен заплатить 5 копеек.

Могут ли они сделать это, использовав (в том числе и для обмена между собой)   а) 24 монеты;   б) 25 монет?

В двух стаканах было поровну воды. Количество воды в первом увеличилось вначале на 1%, потом на 2%, потом на 3%, и так далее до 27%. Во втором стакане количество воды увеличилось вначале на 27%, потом на 26%, потом на 25% и так далее до 1%.

В каком стакане стало больше воды?

В кружке есть девочки, но мальчиков больше 94% состава. Какое минимальное число людей может быть в кружке?