Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. Экстремальные точки треугольника» - сложность 1-4 с решениями

Из точки <i>M</i>, лежащей внутри данного треугольника <i>ABC</i>, опущены перпендикуляры <i>MA</i>₁, <i>MB</i>₁, <i>MC</i>₁ на прямые <i>BC, CA, AB</i>. Для каких точек <i>M</i> внутри данного треугольника <i>ABC</i> величина   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/57540/problem_57540_img_2.gif">   принимает наименьшее значение?

Точки <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ взяты на сторонах <i>BC, CA</i> и <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i>, причём отрезки <i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁ пересекаются в одной точке <i>M</i>.

При каком положении точки <i>M</i> величина  ^<i>MA</i>₁/_<i>AA</i>₁·^<i>MB</i>₁/_<i>BB</i>₁·<sup>...

Внутри треугольника <i>ABC</i> взята точка <i>O</i>. Пусть <i>d_a, d_b, d_c</i> – расстояния от нее до прямых <i>BC, CA, AB</i>.

При каком положении точки <i>O</i> произведение <i>d_ad_bd_c</i> будет наибольшим?

Из точки <i>M</i>описанной окружности треугольника<i>ABC</i>опущены перпендикуляры<i>MP</i>и<i>MQ</i>на прямые<i>AB</i>и<i>AC</i>. При каком положении точки <i>M</i>длина отрезка<i>PQ</i>максимальна?

Дан треугольник<i>ABC</i>. Найдите на прямой<i>AB</i>точку <i>M</i>, для которой сумма радиусов описанных окружностей треугольников<i>ACM</i>и<i>BCM</i>была бы наименьшей.

Из точки <i>M</i>, лежащей на стороне<i>AB</i>остроугольного треугольника<i>ABC</i>, опущены перпендикуляры<i>MP</i>и<i>MQ</i>на стороны<i>BC</i>и<i>AC</i>. При каком положении точки <i>M</i>длина отрезка<i>PQ</i>минимальна?

На гипотенузе <i>AB</i> прямоугольного треугольника <i>ABC</i> взята точка <i>X, M</i> и <i>N</i> – её проекции на катеты <i>AC</i> и <i>BC</i>.

  а) При каком положении точки <i>X</i> длина отрезка <i>MN</i> будет наименьшей?

  б) При каком положении точки <i>X</i> площадь четырёхугольника <i>CMXN</i> будет наибольшей?