Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. Теорема о группировке масс» для 10-11 класса - сложность 1-5 с решениями

Три мухи равной массы ползают по сторонам треугольника так, что их центр масс остается на месте. Докажите, что он совпадает с точкой пересечения медиан треугольника<i>ABC</i>, если известно, что одна муха проползла по всей границе треугольника.

Пусть<i>ABCD</i> — выпуклый четырехугольник,<i>K</i>,<i>L</i>,<i>M</i>и <i>N</i> — середины сторон<i>AB</i>,<i>BC</i>,<i>CD</i>и <i>DA</i>. Докажите, что точка пересечения отрезков<i>KM</i>и <i>LN</i>является серединой этих отрезков, а также и серединой отрезка, соединяющего середины диагоналей.