Олимпиадные задачи из источника «глава 15. Параллельный перенос» - сложность 3 с решениями

Угол, изготовленный из прозрачного материала, двигают так, что две непересекающиеся окружности касаются его сторон внутренним образом. Докажите, что на нем можно отметить точку, которая описывает дугу окружности.

Найдите геометрическое место точек: а) сумма; б) разность расстояний от которых до двух данных прямых имеет данную величину.

а) Даны окружности <i>S</i>₁и <i>S</i>₂, пересекающиеся в точках <i>A</i>и <i>B</i>. Проведите через точку <i>A</i>прямую <i>l</i>так, чтобы отрезок этой прямой, заключенный внутри окружностей <i>S</i>₁и <i>S</i>₂, имел данную длину. б) Впишите в данный треугольник<i>ABC</i>треугольник, равный данному треугольнику<i>PQR</i>.

Постройте четырехугольник<i>ABCD</i>по четырем углам и длинам сторон<i>AB</i>=<i>a</i>и <i>CD</i>=<i>b</i>.

Даны непересекающиеся хорды<i>AB</i>и <i>CD</i>окружности. Постройте точку <i>X</i>окружности так, чтобы хорды<i>AX</i>и <i>BX</i>высекали на хорде<i>CD</i>отрезок<i>EF</i>, имеющий данную длину <i>a</i>.

В трапеции<i>ABCD</i>стороны<i>BC</i>и <i>AD</i>параллельны,<i>M</i> — точка пересечения биссектрис углов <i>A</i>и <i>B</i>,<i>N</i> — точка пересечения биссектрис углов <i>C</i>и <i>D</i>. Докажите, что2<i>MN</i>= |<i>AB</i>+<i>CD</i>-<i>BC</i>-<i>AD</i>|.

Пусть <i>K</i>,<i>L</i>,<i>M</i>и <i>N</i> — середины сторон<i>AB</i>,<i>BC</i>,<i>CD</i>и <i>DA</i>выпуклого четырехугольника<i>ABCD</i>. а) Докажите, что<i>KM</i>$\le$(<i>BC</i>+<i>AD</i>)/2, причем равенство достигается, только если<i>BC</i>|<i>AD</i>. б) При фиксированных длинах сторон четырехугольника<i>ABCD</i>найдите максимальные значения длин отрезков<i>KM</i>и <i>LN</i>.

В каком месте следует построить мост <i>MN</i> через реку, разделяющую две данные деревни <i>A</i> и <i>B</i>, чтобы путь <i>AMNB</i> из деревни <i>A</i> в деревню <i>B</i> был кратчайшим (берега реки считаются параллельными прямыми, мост предполагается перпендикулярным к реке).