Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. Поворот на 60 градусов» - сложность 2 с решениями
параграф 2. Поворот на 60 градусов
НазадНа сторонах<i>BC</i>и <i>CD</i>параллелограмма<i>ABCD</i>построены внешним образом правильные треугольники<i>BCP</i>и <i>CDQ</i>. Докажите, что треугольник<i>APQ</i>правильный.
Рассмотрим всевозможные равносторонние треугольники<i>PKM</i>, вершина <i>P</i>которых фиксирована, а вершина <i>K</i>лежит в данном квадрате. Найдите геометрическое место вершин <i>M</i>.
Постройте равносторонний треугольник<i>ABC</i>так, чтобы его вершины лежали на трех данных параллельных прямых.
На отрезке<i>AE</i>по одну сторону от него построены равносторонние треугольники<i>ABC</i>и <i>CDE</i>;<i>M</i>и <i>P</i> — середины отрезков<i>AD</i>и <i>BE</i>. Докажите, что треугольник<i>CPM</i>равносторонний.
На сторонах треугольника<i>ABC</i>внешним образом построены правильные треугольники<i>A</i><sub>1</sub><i>BC</i>,<i>AB</i><sub>1</sub><i>C</i>и<i>ABC</i><sub>1</sub>. Докажите, что<i>AA</i><sub>1</sub>=<i>BB</i><sub>1</sub>=<i>CC</i><sub>1</sub>.
На дуге <i>BC</i> окружности, описанной около равностороннего треугольника <i>ABC</i>, взята произвольная точка <i>P</i>. Докажите, что <i>AP = BP + CP</i>.