Олимпиадные задачи из источника «параграф 11. Разные задачи» для 8 класса
параграф 11. Разные задачи
НазадИз центра <i>O</i>окружности опущен перпендикуляр <i>OA</i>на прямую <i>l</i>. На прямой <i>l</i>взяты точки <i>B</i>и <i>C</i>так, что <i>AB</i>=<i>AC</i>. Через точки <i>B</i>и <i>C</i>проведены две секущие, первая из которых пересекает окружность в точках <i>P</i>и <i>Q</i>, а вторая — в точках <i>M</i>и <i>N</i>. Прямые <i>PM</i>и <i>QN</i>пересекают прямую <i>l</i>в точках <i>R</i>и <i>S</i>. Докажите, что <i>AR</i>=<i>AS</i>.
Окружности <i>S</i><sub>1</sub>и <i>S</i><sub>2</sub>пересекаются в точках <i>A</i>и <i>B</i>, причем касательные к <i>S</i><sub>1</sub>в этих точках являются радиусами <i>S</i><sub>2</sub>. На внутренней дуге <i>S</i><sub>1</sub>взята точка <i>C</i>и соединена с точками <i>A</i>и <i>B</i>прямыми. Докажите, что вторые точки пересечения этих прямых с <i>S</i><sub>2</sub>являются концами одного диаметра.
На сторонах <i>AC</i>и <i>BC</i>треугольника <i>ABC</i>внешним образом построены квадраты <i>ACA</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>и <i>BCB</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>2</sub>. Докажите, что прямые <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i>,<i>A</i><sub>2</sub><i>B</i><sub>2</sub>и <i>AB</i><sub>1</sub>пересекаются в одной точке.
а) Из точки <i>A</i>проведены прямые, касающиеся окружности <i>S</i>в точках <i>B</i>и <i>C</i>. Докажите, что центр вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>и центр его вневписанной окружности, касающейся стороны <i>BC</i>, лежат на окружности <i>S</i>. б) Докажите, что окружность, проходящая через вершины <i>B</i>и <i>C</i>любого треугольника <i>ABC</i>и центр <i>O</i>его вписанной окружности, высекает на прямых <i>AB</i>и <i>AC</i>равные хорды.
Через вершины <i>A</i>и <i>B</i>треугольника <i>ABC</i>проведены две параллельные прямые, а прямые<i>m</i> и <i>n</i>симметричны им относительно биссектрис соответствующих углов. Докажите, что точка пересечения прямых<i>m</i> и <i>n</i>лежит на описанной окружности треугольника <i>ABC</i>.
Пусть <i>H</i> — точка пересечения высот треугольника <i>ABC</i>, а <i>AA'</i> — диаметр его описанной окружности. Докажите, что отрезок <i>A'H</i>делит сторону <i>BC</i>пополам.
В треугольнике <i>ABC</i>проведена высота <i>AH</i>; <i>O</i> — центр описанной окружности. Докажите, что $\angle$<i>OAH</i>= |$\angle$<i>B</i>-$\angle$<i>C</i>|.