Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Конечное число точек, прямых и т.д.» для 10 класса - сложность 4-5 с решениями

Два неравных картонных диска разделены на 1965 равных секторов. На каждом из дисков произвольно выбраны 200 секторов и раскрашены в красный цвет. Меньший диск наложен на больший, так что их центры совпадают, а секторы целиком лежат один против другого. Меньший диск поворачивают на всевозможные углы, кратные${\frac{1}{1965}}$части окружности, оставляя больший диск неподвижным. Доказать, что по крайней мере при 60 положениях на дисках совпадут не более 20 красных секторов.

Внутри выпуклого 2<i>n</i>-угольника взята точка <i>P</i>. Через каждую вершину и точку <i>P</i>проведена прямая. Докажите, что найдется сторона 2<i>n</i>-угольника, с которой ни одна из проведенных прямых не имеет общих внутренних точек.

Каждая из девяти прямых разбивает квадрат на два четырехугольника, площади которых относятся как 2 : 3. Докажите, что по крайней мере три из этих девяти прямых проходят через одну точку.