Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Выпуклые многоугольники» для 8 класса
параграф 1. Выпуклые многоугольники
Назада) Докажите, что параллелограмм нельзя покрыть тремя меньшими гомотетичными ему параллелограммами. б) Докажите, что любой выпуклый многоугольник, кроме параллелограмма, можно покрыть тремя меньшими гомотетичными ему многоугольниками.
В окружность вписан выпуклый<i>n</i>-угольник<i>A</i><sub>1</sub>...<i>A</i><sub>n</sub>, причем среди его вершин нет диаметрально противоположных точек. Докажите, что если среди треугольников<i>A</i><sub>p</sub><i>A</i><sub>q</sub><i>A</i><sub>r</sub>есть хотя бы один остроугольный, то таких остроугольных треугольников не менее<i>n</i>- 2.
Точка <i>O</i>лежит внутри выпуклого<i>n</i>-угольника<i>A</i><sub>1</sub>...<i>A</i><sub>n</sub>. Докажите, что среди углов<i>A</i><sub>i</sub><i>OA</i><sub>j</sub>не менее<i>n</i>- 1 не острых.
Дан выпуклый<i>n</i>-угольник, никакие две стороны которого не параллельны. Докажите, что различных треугольников, о которых идет речь в задаче <a href="https://mirolimp.ru/tasks/158119">22.8</a>, не менее<i>n</i>- 2.
Докажите, что в любом выпуклом многоугольнике, кроме параллелограмма, можно выбрать три стороны, при продолжении которых образуется треугольник, объемлющий данный многоугольник.
Выпуклый<i>n</i>-угольник разрезан на треугольники непересекающимися диагоналями. Рассмотрим преобразование такого разбиения, при котором треугольники<i>ABC</i>и<i>ACD</i>заменяются на треугольники<i>ABD</i>и<i>BCD</i>. Пусть<i>P</i>(<i>n</i>) — наименьшее число преобразований, за которое любое разбиение можно перевести в любое другое. Докажите, что: а)<i>P</i>(<i>n</i>)$\ge$<i>n</i>- 3; б)<i>P</i>(<i>n</i>)$\le$2<i>n</i>- 7; в)<i>P</i>(<i>n</i>)$\le$2<i>n</i>- 10 при<i>n</i>$\ge$13.
Докажите, что существует такое число <i>N</i>, что среди любых <i>N</i>точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, можно выбрать 100 точек, являющихся вершинами выпуклого многоугольника.
Выпуклый многоугольник<i>A</i><sub>1</sub>...<i>A</i><sub>n</sub>лежит внутри окружности<i>S</i><sub>1</sub>, а выпуклый многоугольник<i>B</i><sub>1</sub>...<i>B</i><sub>m</sub>— внутри<i>S</i><sub>2</sub>. Докажите, что если эти многоугольники пересекаются, то одна из точек<i>A</i><sub>1</sub>, ...,<i>A</i><sub>n</sub>лежит внутри<i>S</i><sub>2</sub>или одна из точек<i>B</i><sub>1</sub>, ...,<i>B</i><sub>m</sub>лежит внутри<i>S</i><sub>1</sub>.
Назовем выпуклый семиугольник<i>особым</i>, если три его диагонали пересекаются в одной точке. Докажите, что, слегка пошевелив одну из вершин особого семиугольника, можно получить неособый семиугольник.
Среди всех таких чисел <i>n</i>, что любой выпуклый 100-угольник можно представить в виде пересечения (т. е. общей части)<i>n</i>треугольников, найдите наименьшее.
На плоскости дано несколько правильных<i>n</i>-угольников. Докажите, что выпуклая оболочка их вершин имеет не менее <i>n</i>углов.
Внутри квадрата<i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>3</sub><i>A</i><sub>4</sub>лежит выпуклый четырёхугольник<i>A</i><sub>5</sub><i>A</i><sub>6</sub><i>A</i><sub>7</sub><i>A</i><sub>8</sub>. Внутри<i>A</i><sub>5</sub><i>A</i><sub>6</sub><i>A</i><sub>7</sub><i>A</i><sub>8</sub>выбрана точка<i>A</i><sub>9</sub>. Никакие три из этих девяти точек не лежат на одной прямой. Докажите, что из этих девяти точек можно выбрать 5 точек, расположенных в вершинах выпуклого пятиугол...
На плоскости дано пять точек, причем никакие три из них не лежат на одной прямой. Докажите, что четыре из этих точек расположены в вершинах выпуклого четырехугольника.
На плоскости дано <i>n</i>точек, причем любые четыре из них являются вершинами выпуклого четырехугольника. Докажите, что эти точки являются вершинами выпуклого<i>n</i>-угольника.