Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Выпуклые многоугольники» - сложность 1-5 с решениями

а) Докажите, что параллелограмм нельзя покрыть тремя меньшими гомотетичными ему параллелограммами. б) Докажите, что любой выпуклый многоугольник, кроме параллелограмма, можно покрыть тремя меньшими гомотетичными ему многоугольниками.

В окружность вписан выпуклый<i>n</i>-угольник<i>A</i>₁...<i>A</i>_n, причем среди его вершин нет диаметрально противоположных точек. Докажите, что если среди треугольников<i>A</i>_p<i>A</i>_q<i>A</i>_rесть хотя бы один остроугольный, то таких остроугольных треугольников не менее<i>n</i>- 2.

Точка <i>O</i>лежит внутри выпуклого<i>n</i>-угольника<i>A</i>₁...<i>A</i>_n. Докажите, что среди углов<i>A</i>_i<i>OA</i>_jне менее<i>n</i>- 1 не острых.

Дан выпуклый<i>n</i>-угольник, никакие две стороны которого не параллельны. Докажите, что различных треугольников, о которых идет речь в задаче <a href="https://mirolimp.ru/tasks/158119">22.8</a>, не менее<i>n</i>- 2.

Докажите, что в любом выпуклом многоугольнике, кроме параллелограмма, можно выбрать три стороны, при продолжении которых образуется треугольник, объемлющий данный многоугольник.

Выпуклый<i>n</i>-угольник разрезан на треугольники непересекающимися диагоналями. Рассмотрим преобразование такого разбиения, при котором треугольники<i>ABC</i>и<i>ACD</i>заменяются на треугольники<i>ABD</i>и<i>BCD</i>. Пусть<i>P</i>(<i>n</i>) — наименьшее число преобразований, за которое любое разбиение можно перевести в любое другое. Докажите, что: а)<i>P</i>(<i>n</i>)$\ge$<i>n</i>- 3; б)<i>P</i>(<i>n</i>)$\le$2<i>n</i>- 7; в)<i>P</i>(<i>n</i>)$\le$2<i>n</i>- 10 при<i>n</i>$\ge$13.

Докажите, что существует такое число <i>N</i>, что среди любых <i>N</i>точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, можно выбрать 100 точек, являющихся вершинами выпуклого многоугольника.

Выпуклый многоугольник<i>A</i>₁...<i>A</i>_nлежит внутри окружности<i>S</i>₁, а выпуклый многоугольник<i>B</i>₁...<i>B</i>_m— внутри<i>S</i>₂. Докажите, что если эти многоугольники пересекаются, то одна из точек<i>A</i>₁, ...,<i>A</i>_nлежит внутри<i>S</i>₂или одна из точек<i>B</i>₁, ...,<i>B</i>_mлежит внутри<i>S</i>₁.

Назовем выпуклый семиугольник<i>особым</i>, если три его диагонали пересекаются в одной точке. Докажите, что, слегка пошевелив одну из вершин особого семиугольника, можно получить неособый семиугольник.

Среди всех таких чисел <i>n</i>, что любой выпуклый 100-угольник можно представить в виде пересечения (т. е. общей части)<i>n</i>треугольников, найдите наименьшее.

На плоскости дано несколько правильных<i>n</i>-угольников. Докажите, что выпуклая оболочка их вершин имеет не менее <i>n</i>углов.

Внутри квадрата<i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>A</i>₃<i>A</i>₄лежит выпуклый четырёхугольник<i>A</i>₅<i>A</i>₆<i>A</i>₇<i>A</i>₈. Внутри<i>A</i>₅<i>A</i>₆<i>A</i>₇<i>A</i>₈выбрана точка<i>A</i>₉. Никакие три из этих девяти точек не лежат на одной прямой. Докажите, что из этих девяти точек можно выбрать 5 точек, расположенных в вершинах выпуклого пятиугол...

На плоскости дано пять точек, причем никакие три из них не лежат на одной прямой. Докажите, что четыре из этих точек расположены в вершинах выпуклого четырехугольника.

На плоскости дано <i>n</i>точек, причем любые четыре из них являются вершинами выпуклого четырехугольника. Докажите, что эти точки являются вершинами выпуклого<i>n</i>-угольника.