Олимпиадные задачи из источника «параграф 6. Невыпуклые многоугольники» - сложность 4-5 с решениями

Числа$\alpha_{1}^{}$,...,$\alpha_{n}^{}$, сумма которых равна (<i>n</i>- 2)$\pi$, удовлетворяют неравенствам0 <$\alpha_{i}^{}$< 2$\pi$. Докажите, что существует<i>n</i>-угольник<i>A</i>₁...<i>A</i>_nс углами$\alpha_{1}^{}$,...,$\alpha_{n}^{}$при вершинах<i>A</i>₁,...<i>A</i>_n.

С невыпуклым несамопересекающимся многоугольником производятся следующие операции. Если он лежит по одну сторону от прямой<i>AB</i>, где <i>A</i>и <i>B</i> — несмежные вершины, то одна из частей, на которые контур многоугольника делится точками <i>A</i>и <i>B</i>, отражается относительно середины отрезка<i>AB</i>. Докажите, что после нескольких таких операций многоугольник станет выпуклым.

Чему равно наибольшее число острых углов в невыпуклом<i>n</i>-угольнике?

Докажите, что для любого тринадцатиугольника найдется прямая, содержащая ровно одну его сторону, однако при любом<i>n</i>> 13 существует<i>n</i>-угольник, для которого это неверно.

Многоугольник разрезан непересекающимися диагоналями на треугольники. Докажите, что по крайней мере две из этих диагоналей отсекают от него треугольники.

Докажите, что количество треугольников, на которые непересекающиеся диагонали разбивают<i>n</i>-угольник, равно<i>n</i>- 2.

Докажите, что сумма внутренних углов любого<i>n</i>-угольника равна(<i>n</i>- 2) 180^<tt>o</tt>.

Докажите, что любой<i>n</i>-угольник можно разрезать на треугольники непересекающимися диагоналями.

Чему равно наибольшее число вершин невыпуклого<i>n</i>-угольника, из которых нельзя провести диагональ?

а) Докажите, что в любом многоугольнике, кроме треугольника, есть хотя бы одна диагональ, целиком лежащая внутри него.

б) Выясните, какое наименьшее число таких диагоналей может иметь <i>n</i>-угольник.