Олимпиадные задачи из источника «глава 22. Выпуклые и невыпуклые многоугольники» для 1-9 класса - сложность 4 с решениями

Докажите, что для любого тринадцатиугольника найдется прямая, содержащая ровно одну его сторону, однако при любом<i>n</i>> 13 существует<i>n</i>-угольник, для которого это неверно.

Многоугольник разрезан непересекающимися диагоналями на треугольники. Докажите, что по крайней мере две из этих диагоналей отсекают от него треугольники.

Докажите, что количество треугольников, на которые непересекающиеся диагонали разбивают<i>n</i>-угольник, равно<i>n</i>- 2.

Докажите, что сумма внутренних углов любого<i>n</i>-угольника равна(<i>n</i>- 2) 180^<tt>o</tt>.

Докажите, что любой<i>n</i>-угольник можно разрезать на треугольники непересекающимися диагоналями.

Чему равно наибольшее число вершин невыпуклого<i>n</i>-угольника, из которых нельзя провести диагональ?

а) Докажите, что в любом многоугольнике, кроме треугольника, есть хотя бы одна диагональ, целиком лежащая внутри него.

б) Выясните, какое наименьшее число таких диагоналей может иметь <i>n</i>-угольник.

Докажите, что выпуклый многоугольник имеет центр симметрии тогда и только тогда, когда его можно представить в виде суммы нескольких отрезков.

а) Докажите, что если<i>M</i>₁и<i>M</i>₂— выпуклые многоугольники, то$\lambda_{1}^{}$<i>M</i>₁+$\lambda_{2}^{}$<i>M</i>₂— выпуклый многоугольник, число сторон которого не превосходит суммы чисел сторон многоугольников<i>M</i>₁и<i>M</i>₂. б) Пусть<i>P</i>₁и<i>P</i>₂— периметры многоугольников<i>M</i>₁и<i>M</i>₂. Докажите, что периметр многоугольника$\lambda_{1}^{}$<i>M</i>₁+$\lambda_{2}^{}$<i>M</i>&lt...

На плоскости дано <i>n</i>точек, причем любые три из них можно накрыть кругом радиуса 1. Докажите, что тогда все <i>n</i>точек можно накрыть кругом радиуса 1.