Олимпиадные задачи из источника «глава 26. Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры» для 3-9 класса - сложность 4 с решениями
глава 26. Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры
НазадОбязательно ли треугольник равнобедренный, если центр его вписанной окружности одинаково удален от середин двух сторон?
На плоскости расположено несколько непересекающихся отрезков. Всегда ли можно соединить концы некоторых из них отрезками так, чтобы получилась замкнутая несамопересекающаяся ломаная?
Может ли конечный набор точек содержать для каждой своей точки ровно 100 точек, удаленных от нее на расстояние 1?
На бесконечном листе клетчатой бумаги (размер клетки 1×1) укладываются кости домино размером 1×2 так, что они накрывают все клетки. Можно ли при этом добиться того, чтобы любая прямая, идущая по линиям сетки, разрезала лишь конечное число костей?
В остроугольном треугольнике<i>ABC</i>проведены медиана<i>AM</i>, биссектриса<i>BK</i>и высота<i>CH</i>. Может ли площадь треугольника, образованного точками пересечения этих отрезков, быть больше0, 499<i>S</i><sub>ABC</sub>?
На плоскости расположено<i>n</i>$\ge$5 окружностей так, что любые три из них имеют общую точку. Докажите, что тогда и все окружности имеют общую точку.
На окружности отметили 4<i>n</i>точек и окрасили их через одну в красный и синий цвета. Точки каждого цвета разбили на пары, а точки каждой пары соединили отрезками того же цвета. Докажите, что если никакие три отрезка не пересекаются в одной точке, то найдется по крайней мере <i>n</i>точек пересечения красных отрезков с синими.
Точка <i>O</i>, лежащая внутри выпуклого многоугольника<i>A</i><sub>1</sub>...<i>A</i><sub>n</sub>, обладает тем свойством, что любая прямая<i>OA</i><sub>i</sub>содержит еще одну вершину <i>A</i><sub>j</sub>. Докажите, что кроме точки <i>O</i>никакая другая точка не обладает этим свойством.
На плоскости дано 22 точки, причем никакие три из них не лежат на одной прямой. Докажите, что их можно разбить на пары так, чтобы отрезки, заданные парами, пересекались по крайней мере в пяти точках.
На плоскости дано 4000 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что существует 1000 непересекающихся четырехугольников (возможно, невыпуклых) с вершинами в этих точках.
На плоскости дано<i>n</i>$\ge$3 точек. Пусть <i>d</i> — наибольшее расстояние между парами этих точек. Докажите, что имеется не более <i>n</i>пар точек, расстояние между которыми равно <i>d</i>.