Олимпиадные задачи из источника «параграф 5. Две касательные, проведенные из одной точки» для 9 класса
параграф 5. Две касательные, проведенные из одной точки
НазадОкружности <i>S</i><sub>1</sub>и <i>S</i><sub>2</sub>пересекаются в точках <i>A</i>и <i>B</i>, причем центр <i>O</i>окружности <i>S</i><sub>1</sub>лежит на <i>S</i><sub>2</sub>. Прямая, проходящая через точку <i>O</i>, пересекает отрезок <i>AB</i>в точке <i>P</i>, а окружность <i>S</i><sub>2</sub>в точке <i>C</i>. Докажите, что точка <i>P</i>лежит на поляре точки <i>C</i>относительно окружности <i>S</i><sub>1</sub>.
Даны окружность <i>S</i>и прямая <i>l</i>, не имеющие общих точек. Из точки <i>P</i>, движущейся по прямой <i>l</i>, проводятся касательные <i>PA</i>и <i>PB</i>к окружности <i>S</i>. Докажите, что все хорды <i>AB</i>имеют общую точку.
Четырехугольник <i>ABCD</i>вписан в окружность, причем касательные в точках <i>B</i>и <i>D</i>пересекаются в точке <i>K</i>, лежащей на прямой <i>AC</i>. а) Докажите, что <i>AB</i><sup> . </sup><i>CD</i>=<i>BC</i><sup> . </sup><i>AD</i>. б) Прямая, параллельная <i>KB</i>, пересекает прямые <i>BA</i>,<i>BD</i>и <i>BC</i>в точках <i>P</i>,<i>Q</i>и <i>R</i>. Докажите, что <i>PQ</i>=<i>QR</i>.
Из точки <i>A</i>проведены касательные <i>AB</i>и <i>AC</i>к окружности и секущая, пересекающая окружность в точках <i>D</i>и <i>E</i>; <i>M</i> — середина отрезка <i>BC</i>. Докажите, что <i>BM</i><sup>2</sup>=<i>DM</i><sup> . </sup><i>ME</i>и угол <i>DME</i>в два раза больше угла <i>DBE</i>или угла <i>DCE</i>; кроме того, $\angle$<i>BEM</i>=$\angle$<i>DEC</i>.
На продолжении хорды <i>KL</i>окружности с центром <i>O</i>взята точка <i>A</i>, и из нее проведены касательные <i>AP</i>и <i>AQ</i>; <i>M</i> — середина отрезка <i>PQ</i>. Докажите, что $\angle$<i>MKO</i>=$\angle$<i>MLO</i>.
Из точки <i>A</i>проведены касательные <i>AB</i>и <i>AC</i>к окружности с центром <i>O</i>. Через точку <i>X</i>отрезка <i>BC</i>проведена прямая <i>KL</i>, перпендикулярная <i>XO</i>(точки <i>K</i>и <i>L</i>лежат на прямых <i>AB</i>и <i>AC</i>). Докажите, что <i>KX</i>=<i>XL</i>.
Из точки <i>A</i>проведены касательные <i>AB</i>и <i>AC</i>к окружности с центром <i>O</i>. Докажите, что если из точки <i>M</i>отрезок <i>AO</i>виден под углом 90<sup><tt>o</tt></sup>, то отрезки <i>OB</i>и <i>OC</i>видны из нее под равными углами.