Олимпиадные задачи из источника «глава 3. Окружности» - сложность 5 с решениями
глава 3. Окружности
Назада) Окружности <i>S</i><sub>1</sub>и <i>S</i><sub>2</sub>пересекаются в точках <i>A</i>и <i>B</i>. Степень точки <i>P</i>окружности <i>S</i><sub>1</sub>относительно окружности <i>S</i><sub>2</sub>равна <i>p</i>, расстояние от точки <i>P</i>до прямой <i>AB</i>равно <i>h</i>, а расстояние между центрами окружностей равно <i>d</i>. Докажите, что |<i>p</i>| = 2<i>dh</i>. б) Степени точек <i>A</i>и <i>B</i>относительно описанных окружностей треугольников <i>BCD</i>и <i>ACD</i>равны <i>p</i><sub>a</sub>и <i>...
Даны четыре окружности <i>S</i><sub>1</sub>,<i>S</i><sub>2</sub>,<i>S</i><sub>3</sub>и <i>S</i><sub>4</sub>, причем окружности <i>S</i><sub>i</sub>и <i>S</i><sub>i + 1</sub>касаются внешним образом для <i>i</i>= 1, 2, 3, 4 (<i>S</i><sub>5</sub>=<i>S</i><sub>1</sub>). Докажите, что радикальная ось окружностей <i>S</i><sub>1</sub>и <i>S</i><sub>3</sub>проходит через точку пересечения общих внешних касательных к <i>S</i><sub>2</sub>и <i>S</i><sub>4</sub>.
Докажите, что диагонали <i>AD</i>,<i>BE</i>и <i>CF</i>описанного шестиугольника <i>ABCDEF</i>пересекаются в одной точке (Брианшон).
а) В треугольнике <i>ABC</i>проведены высоты <i>AA</i><sub>1</sub>,<i>BB</i><sub>1</sub>и <i>CC</i><sub>1</sub>. Прямые <i>AB</i>и <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub>, <i>BC</i>и <i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub>, <i>CA</i>и <i>C</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>1</sub>пересекаются в точках <i>C'</i>,<i>A'</i>и <i>B'</i>. Докажите, что точки <i>A'</i>,<i>B'</i>и <i>C'</i>лежат на радикальной оси окружности девяти точек и оп...
Четырехугольник<i>ABCD</i>вписанный. Пусть<i>r</i><sub>a</sub>,<i>r</i><sub>b</sub>,<i>r</i><sub>c</sub>,<i>r</i><sub>d</sub>— радиусы вписанных окружностей треугольников<i>BCD</i>,<i>ACD</i>,<i>ABD</i>,<i>ABC</i>. Докажите, что<i>r</i><sub>a</sub>+<i>r</i><sub>c</sub>=<i>r</i><sub>b</sub>+<i>r</i><sub>d</sub>.
На стороне<i>BC</i>треугольника<i>ABC</i>взята точка<i>D</i>. Окружность<i>S</i><sub>1</sub>касается отрезков<i>BE</i>и<i>EA</i>и описанной окружности, окружность<i>S</i><sub>2</sub>касается отрезков<i>CE</i>и<i>EA</i>и описанной окружности. Пусть<i>I</i>,<i>I</i><sub>1</sub>,<i>I</i><sub>2</sub>и<i>r</i>,<i>r</i><sub>1</sub>,<i>r</i><sub>2</sub>-- центры и радиусы вписанной окружности и окружностей<i>S</i><sub>1</sub>,<i>S</i><sub>2</sub>;$\varphi$=$\angle$<i>ADB</i>. Докажите, что...
Треугольники <i>ABC</i><sub>1</sub>и <i>ABC</i><sub>2</sub>вписаны в окружность <i>S</i>, причем хорды <i>AC</i><sub>2</sub>и <i>BC</i><sub>1</sub>пересекаются. Окружность <i>S</i><sub>1</sub>касается хорды <i>AC</i><sub>2</sub>в точке <i>M</i><sub>2</sub>, хорды <i>BC</i><sub>1</sub>в точке <i>N</i><sub>1</sub>и окружности <i>S</i>. Докажите, что центры вписанных окружностей треугольников <i>ABC</i><sub>1</sub>и <i>ABC</i><sub>2</sub>лежат на отрезке <i>M</i><sub>2</sub><i>N&l...
Окружность, касающаяся сторон <i>AC</i>и <i>BC</i>треугольника <i>ABC</i>в точках <i>M</i>и <i>N</i>, касается также его описанной окружности (внутренним образом). Докажите, что середина отрезка <i>MN</i>совпадает с центром вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>.