Задача
Окружность, касающаяся сторон ACи BCтреугольника ABCв точках Mи N, касается также его описанной окружности (внутренним образом). Докажите, что середина отрезка MNсовпадает с центром вписанной окружности треугольника ABC.
Решение
Пусть A1и B1 — середины дуг BCи AC; O — центр вписанной окружности. Тогда A1B1$\perp$CO(см. задачу 2.19, а) и MN$\perp$CO, а значит, MN||A1B1. Будем перемещать точки M'и N'по лучам CAи CBтак, что M'N'||A1B1. Лишь при одном положении точек M'и N'точка L, в которой пересекаются прямые B1M'и A1N', попадает на описанную окружность треугольника ABC. С другой стороны, если отрезок MNпроходит через точку O, точка Lпопадает на эту окружность (см. задачу 2.49).
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь