Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Площади треугольников, на которые разбит четырехугольник» для 2-11 класса - сложность 1-5 с решениями
параграф 3. Площади треугольников, на которые разбит четырехугольник
НазадВ выпуклом четырехугольнике <i>ABCD</i>существуют три внутренние точки <i>P</i><sub>1</sub>,<i>P</i><sub>2</sub>,<i>P</i><sub>3</sub>, не лежащие на одной прямой и обладающие тем свойством, что сумма площадей треугольников <i>ABP</i><sub>i</sub>и <i>CDP</i><sub>i</sub>равна сумме площадей треугольников <i>BCP</i><sub>i</sub>и <i>ADP</i><sub>i</sub>для <i>i</i>= 1, 2, 3. Докажите, что <i>ABCD</i> — параллелограмм.
Диагонали четырехугольника <i>ABCD</i>пересекаются в точке <i>P</i>, причем <i>S</i><sub>ABP</sub><sup>2</sup>+<i>S</i><sub>CDP</sub><sup>2</sup>=<i>S</i><sub>BCP</sub><sup>2</sup>+<i>S</i><sub>ADP</sub><sup>2</sup>. Докажите, что <i>P</i> — середина одной из диагоналей.
а) Диагонали выпуклого четырехугольника <i>ABCD</i>пересекаются в точке <i>P</i>. Известны площади треугольников<i>ABP</i>,<i>BCP</i>,<i>CDP</i>. Найдите площадь треугольника <i>ADP</i>. б) Выпуклый четырехугольник разбит диагоналями на четыре треугольника, площади которых выражаются целыми числами. Докажите, что произведение этих чисел представляет собой точный квадрат.
Диагонали четырехугольника <i>ABCD</i>пересекаются в точке <i>O</i>. Докажите, что <i>S</i><sub>AOB</sub>=<i>S</i><sub>COD</sub>тогда и только тогда, когда <i>BC</i>||<i>AD</i>.