Олимпиадные задачи из источника «параграф 11. Прямая Эйлера и окружность девяти точек» для 6-8 класса - сложность 4-5 с решениями

Высоты треугольника <i>ABC</i>пересекаются в точке <i>H</i>. а) Докажите, что треугольники<i>ABC</i>,<i>HBC</i>,<i>AHC</i>и <i>ABH</i>имеют общую окружность девяти точек. б) Докажите, что прямые Эйлера треугольников <i>ABC</i>,<i>HBC</i>,<i>AHC</i>и <i>ABH</i>пересекаются в одной точке. в) Докажите, что центры описанных окружностей треугольников <i>ABC</i>,<i>HBC</i>,<i>AHC</i>и <i>ABH</i>образуют четырехугольник, симметричный четырехугольнику <i>HABC</i>.

Докажите, что в любом треугольнике точка <i>H</i> пересечения высот (ортоцентр), центр <i>O</i> описанной окружности и точка <i>M</i> пересечения медиан (центр тяжести) лежат на одной прямой, причём точка <i>M</i> расположена между точками <i>O</i> и <i>H</i>, и <i>MH</i> = 2<i>MO</i>.

Докажите, что основания высот, середины сторон и середины отрезков от ортоцентра до вершин треугольника лежат на одной окружности.