Олимпиадные задачи из источника «глава 5. Треугольники» для 6-8 класса - сложность 5 с решениями
глава 5. Треугольники
Назада) В треугольнике <i>ABC</i>, длины сторон которого рациональные числа, проведена высота <i>BB</i><sub>1</sub>. Докажите, что длины отрезков <i>AB</i><sub>1</sub>и <i>CB</i><sub>1</sub> — рациональные числа. б) Длины сторон и диагоналей выпуклого четырехугольника — рациональные числа. Докажите, что диагонали разрезают его на четыре треугольника, длины сторон которых — рациональные числа.
В треугольнике <i>ABC</i>проведены биссектрисы <i>BB</i><sub>1</sub>и <i>CC</i><sub>1</sub>. Докажите, что если $\angle$<i>CC</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub>= 30<sup><tt>o</tt></sup>, то либо $\angle$<i>A</i>= 60<sup><tt>o</tt></sup>, либо $\angle$<i>B</i>= 120<sup><tt>o</tt></sup>.
а) На стороне<i>AB</i>треугольника<i>ABC</i>взята точка<i>P</i>. Пусть<i>r</i>,<i>r</i><sub>1</sub>и<i>r</i><sub>2</sub> — радиусы вписанных окружностей треугольников<i>ABC</i>,<i>BCP</i>и<i>ACP</i>;<i>h</i> — высота, опущенная из вершины<i>C</i>. Докажите, что<i>r</i>=<i>r</i><sub>1</sub>+<i>r</i><sub>2</sub>- 2<i>r</i><sub>1</sub><i>r</i><sub>2</sub>/<i>h</i>. б) Точки<i>A</i><sub>1</sub>,<i>A</i><sub>2</sub>,<i>A</i><sub>3</sub>,... лежат на одн...