Олимпиадные задачи из источника «глава 6. Многоугольники» для 4-11 класса - сложность 4 с решениями

Точка <i>O</i>, лежащая внутри выпуклого многоугольника, образует с каждыми двумя его вершинами равнобедренный треугольник. Докажите, что точка <i>O</i>равноудалена от вершин этого многоугольника.

Может ли выпуклый неправильный пятиугольник иметь ровно четыре стороны одинаковой длины и ровно четыре диагонали одинаковой длины? Может ли в таком пятиугольнике пятая сторона иметь общую точку с пятой диагональю?

Для каких <i>n</i>существует выпуклый <i>n</i>-угольник, у которого одна сторона имеет длину 1, а длины всех диагоналей — целые числа?

Сколько в выпуклом многоугольнике может быть сторон, равных по длине наибольшей диагонали?

Некоторые стороны выпуклого многоугольника красные, остальные синие. Сумма длин красных сторон меньше половины периметра, и нет ни одной пары соседних синих сторон. Докажите, что в этот многоугольник нельзя вписать окружность.

Около окружности описан <i>n</i>-угольник <i>A</i>₁...<i>A</i>_n; <i>l</i> — произвольная касательная к окружности, не проходящая через вершины <i>n</i>-угольника. Пусть <i>a</i>_i — расстояние от вершины <i>A</i>_iдо прямой <i>l</i>, <i>b</i>_i — расстояние от точки касания стороны <i>A</i>_i<i>A</i>_{i + 1}с окружностью до прямой <i>l</i>. Докажите, что: а) величина <i>b</i>₁...<i>b</i>_n/(<i>a</i><sub>1</su...

Окружность радиуса <i>r</i>касается сторон многоугольника в точках <i>A</i>₁,...,<i>A</i>_n, причем длина стороны, на которой лежит точка <i>A</i>_i, равна <i>a</i>_i. Точка <i>X</i>удалена от центра окружности на расстояние <i>d</i>. Докажите, что<i>a</i>₁<i>XA</i>₁²+ ... +<i>a</i>_n<i>XA</i>_n²=<i>P</i>(<i>r</i>²+<i>d</i>²), где <i>P</i> — перим...

В 2<i>n</i>-угольнике (<i>n</i>нечетно) <i>A</i>₁...<i>A</i>_2n, описанном около окружности с центром <i>O</i>, диагонали<i>A</i>₁<i>A</i>_{n + 1},<i>A</i>₂<i>A</i>_{n + 2},...,<i>A</i>_{n - 1}<i>A</i>_{2n - 1}проходят через точку <i>O</i>. Докажите, что и диагональ <i>A</i>_n<i>A</i>_2nпроходит через точку <i>O</i>.

Два <i>n</i>-угольника вписаны в одну окружность, причем наборы длин их сторон одинаковы, но не обязательно равны соответственные стороны. Докажите, что площади этих многоугольников равны.

Вписанный многоугольник разбит непересекающимися диагоналями на треугольники. Докажите, что сумма радиусов всех вписанных в эти треугольники окружностей не зависит от разбиения.

В окружность вписан 2<i>n</i>-угольник <i>A</i>₁...<i>A</i>_2n. Пусть <i>p</i>₁,...,<i>p</i>_2n — расстояния от произвольной точки <i>M</i>окружности до сторон <i>A</i>₁<i>A</i>₂,<i>A</i>₂<i>A</i>₃,...,<i>A</i>_2n<i>A</i>₁. Докажите, что <i>p</i>₁<i>p</i>₃...<i>p</i>_{2n - 1}=<i>p</i>₂<i&...

На сторонах треугольника внешним образом построены три квадрата. Какими должны быть углы треугольника, чтобы шесть вершин этих квадратов, отличных от вершин треугольника, лежали на одной окружности?

Докажите, что если число <i>n</i> не является степенью простого числа, то существует выпуклый <i>n</i>-угольник со сторонами длиной 1, 2,..., <i>n</i>, все углы которого равны.

Докажите, что при  <i>n</i> ≥ 6  правильный (<i>n</i>–1)-угольник нельзя так вписать в правильный <i>n</i>-угольник, чтобы на всех сторонах <i>n</i>-угольника, кроме одной, лежало ровно по одной вершине (<i>n</i>–1)-угольника.

Вершины правильного <i>n</i>-угольника окрашены в несколько цветов так, что точки каждого цвета служат вершинами правильного многоугольника.

Докажите, что среди этих многоугольников найдутся два равных.

Суммы углов при вершинах <i>A</i>,<i>C</i>,<i>E</i>и <i>B</i>,<i>D</i>,<i>F</i>выпуклого шестиугольника <i>ABCDEF</i>с равными сторонами равны. Докажите, что противоположные стороны этого шестиугольника параллельны.

Все углы выпуклого шестиугольника <i>ABCDEF</i>равны. Докажите, что |<i>BC</i>-<i>EF</i>| = |<i>DE</i>-<i>AB</i>| = |<i>AF</i>-<i>CD</i>|.

Противоположные стороны выпуклого шестиугольника <i>ABCDEF</i>попарно параллельны. Докажите, что: а) площадь треугольника <i>ACE</i>составляет не менее половины площади шестиугольника. б) площади треугольников <i>ACE</i>и <i>BDF</i>равны.

Правильный пятиугольник <i>ABCDE</i>со стороной <i>a</i>вписан в окружность <i>S</i>. Прямые, проходящие через его вершины перпендикулярно сторонам, образуют правильный пятиугольник со стороной <i>b</i>(см. рис.). Сторона правильного пятиугольника, описанного около окружности <i>S</i>, равна <i>c</i>. Докажите, что <i>a</i>²+<i>b</i>²=<i>c</i>².

<div align="center"><img src="/storage/problem-media/57059/problem_57059_img_2.gif" border="1"></div>

а) Диагонали <i>AC</i>и <i>BE</i>правильного пятиугольника <i>ABCDE</i>пересекаются в точке <i>K</i>. Докажите, что описанная окружность треугольника <i>CKE</i>касается прямой <i>BC</i>. б) Пусть <i>a</i> — длина стороны правильного пятиугольника, <i>d</i> — длина его диагонали. Докажите, что <i>d</i>²=<i>a</i>²+<i>ad</i>.

В равностороннем (неправильном) пятиугольнике <i>ABCDE</i>угол <i>ABC</i>вдвое больше угла <i>DBE</i>. Найдите величину угла <i>ABC</i>.

На дуге <i>A</i>₁<i>A</i>_{2n + 1}описанной окружности <i>S</i>правильного (2<i>n</i>+ 1)-угольника <i>A</i>₁...<i>A</i>_{2n + 1}взята точка <i>A</i>. Докажите, что: а) <i>d</i>₁+<i>d</i>₃+ ... +<i>d</i>_{2n + 1}=<i>d</i>₂+<i>d</i>₄+ ... +<i>d</i>_2n, где <i>d</i>_i=<i>AA</i>_i; б) <i>l</i>₁+ ... +<i>l</i>&l...

Дан параллелограмм <i>ABCD</i>. Окружность, проходящая через точку <i>A</i>, пересекает отрезки <i>AB</i>,<i>AC</i>и <i>AD</i>в точках <i>P</i>,<i>Q</i>и <i>R</i>соответственно. Докажите, что <i>AP</i>^.<i>AB</i>=<i>AR</i>^.<i>AD</i>=<i>AQ</i>^.<i>AC</i>.

На дуге <i>CD</i>описанной окружности квадрата <i>ABCD</i>взята точка <i>P</i>. Докажите, что <i>PA</i>+<i>PC</i>=$\sqrt{2}$<i>PB</i>.

Биссектриса угла <i>A</i>треугольника <i>ABC</i>пересекает описанную окружность в точке <i>D</i>. Докажите, что <i>AB</i>+<i>AC</i>$\leq$2<i>AD</i>.